Zadania 1. kola

1. príklad

Vyplňte štvorce na jeho obraze nezápornými celými číslami (0, 1, 2, 3,\dots) tak, že v každom riadku, v každom stĺpci aj na oboch uhlopriečkach bude rovnaký súčet. Do súčtu sa rátajú čísla na všetkých štvorčekoch, ktoré v riadku/stĺpci/uhlopriečke majú aspoň časť. Napríklad súčet v prvom riadku by bol číslo v modrom štvorci plus čísla v dvoch bielych. Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo nemôžu byť iné.

2. príklad

Vždy, keď električka zastavila na zastávke, stalo sa toto:

• ak bolo v električke aspoň 7 cestujúcich, tak ich 7 vystúpilo,
• ak bolo v električke menej ako 7 cestujúcich, tak 5 nových cestujúcich pristúpilo.

Električkár sa pýtal Fyodora pár zvedavých otázok:

1. Ak je na začiatku v električke 300 cestujúcich, stane sa niekedy, že sa celá vyprázdni?
2. Môže byť v električke na začiatku taký počet cestujúcich, že sa električka nikdy nevyprázdni? Ak áno, aký? Ak nie, prečo?

3. príklad

Aby ale vakcína účinne zabrala, musel ju zvieratkám pichnúť vo veľmi špecifickom poradí:

• Ak je zajac zaočkovaný skôr ako ovca, potom musí byť pes zaočkovaný ako posledný.
• Zajac môže byť zaočkovaný neskôr ako pes iba v prípade, že krava bude zaočkovaná až po zajacovi.
• Ovca môže byť zaočkovaná až potom ako je zaočkovaný zajac alebo pes.
• Krava musí byť zaočkovaná skôr ako ovca.

Aké je poradie v ktorom musí Louis Pasteur očkovať zvieratká? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo iné možnosti nie sú.

4. príklad

Pierre a Mária si jeden večer chceli zahrať hru. Každý myslel na jedno celé číslo od 1 do 30 (vrátane) a potom museli iba otázkami zistiť, aké je číslo toho druhého. Obaja odpovedajú pravdivo a ak sa odpoveď na otázku nedá podľa ich informácii zistiť, povedia “neviem”. Takto sa pýtali:

Mária: Je tvoje číslo dvojnásobok môjho?
Pierre: Neviem. Je tvoje číslo dvojnásobok môjho?
Mária: Neviem. Je tvoje číslo polovica môjho?
Pierre: Neviem. Je tvoje číslo polovica môjho?
Mária: Neviem.
Pierre: Teraz už určite viem tvoje číslo!

Na aké číslo myslí Mária?

5. príklad

Jeden z týchto strojov vedel prepisovať čísla v tabuľke 5 \times 5 nasledovne:

• Buď si vyberie jeden stĺpec a od všetkých čísel v ňom odčíta 1,
• alebo si vyberie jeden riadok a všetky čísla v ňom vynásobí dvomi.

Teraz má Turing tabuľku s rozmermi 5 \times 5. V každom políčku je celé kladné číslo a chcel by ju pomocou stroja prepísať tak, aby v nej boli samé nuly. Vie to určite urobiť bez ohľadu na to, s akými číslami začína? Ak áno, ako to má spraviť? Ak nie, nájdite príklad kedy to nepôjde a vysvetlite prečo.

6. príklad

Na počiatku bolo číslo 2. Hráč na ťahu môže pripočítať k číslu ľubovoľné kladné celé číslo menšie ako aktuálne číslo. Edison a Tesla sa striedajú v ťahoch. Hru začína hrať Nikola Tesla. Hráč, ktorý napíše číslo 1887 vyhráva. Kto má víťaznú stratégiu?

7. príklad

Číslo je Schrödingerovské, keď sa dá vypočítať ako súčet 9 po sebe idúcich celých kladných čísel. Číslo je Bohrovské, keď sa dá vypočítať ako súčet 10 po sebe idúcich celých kladných čísel. Číslo je Planckovské, keď sa dá vypočítať ako súčet 11 po sebe idúcich celých kladných čísel. Číslo je v superpozícii stavov, ak je Schrödingerovské, Bohrovské aj Planckovské zároveň.

Nájdite najmenšie takéto číslo a vysvetlite, prečo nemôže byť menšie.

8. príklad

V každom políčku šachovnice 8 \times 8 je napísané celé číslo tak, aby každé číslo bolo aritmetický priemer nejakých dvoch jeho susedných čísel (susedné sú tie, ktorých políčka sa dotýkajú hranou). Koľko najviac rôznych čísel môže byť na šachovnici a ako sa to dá dosiahnuť? Nezabudnite vysvetliť, prečo ich už nemôže byť viac.

9. príklad

Jedného dňa Flinta kopla múza a začal do hliny čmárať nejaký podivný geometrický útvar. Jane to zaujalo a rozhodla sa obrázok preskúmať.

Flint nakreslil trojuholník ABC. Stred strany AC označil D. Na úsečke BD postupne nakreslil body E a F tak, že tieto body ju delia na tretiny, čiže |BE|=|EF|=|FD|=\frac{1}{3}|BD|. Jane od Flinta zistila, že dĺžka úsečky AB je 1 a úsečka AF je rovnako dlhá ako úsečka AD. Pomôžte Jane zistiť dĺžku úsečky CE.

10. príklad

Raz, keď išiel domov, zbieral po ceste minerály, ktoré našiel na zemi. Keď prišiel domov, spočítal ich a roztriedil ich podľa farieb. Teraz by ich rád uložil do krabíc takým spôsobom, aby zostali čo najroztriedenejšie ako sa dá.

Hutton nazbieral n^2 minerálov najviac n rôznych farieb (ale nie nutne n minerálov z každej farby). Chce ich rozmiestniť do n krabíc. Dokážte, že vie do každej krabice dať n minerálov tak, aby v každej krabici boli minerály najviac dvoch rôznych farieb.