Zadania 1. kola
Piet Mondrian bol známy abstraktný umelec a mažoret. Veľmi rád kreslil na svoje obrazy farebné štvorce. V časopise Logboje raz uvidel reportáž o magických štvorcoch a tak sa rozhodol, že si taký nakreslí.
1. príklad
Vyplňte štvorce na jeho obraze nezápornými celými číslami (0, 1, 2, 3,\dots) tak, že v každom riadku, v každom stĺpci aj na oboch uhlopriečkach bude rovnaký súčet. Do súčtu sa rátajú čísla na všetkých štvorčekoch, ktoré v riadku/stĺpci/uhlopriečke majú aspoň časť. Napríklad súčet v prvom riadku by bol číslo v modrom štvorci plus čísla v dvoch bielych. Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo nemôžu byť iné.
Fyodor Apollonovich Pirotsky bol inžinier, ktorý ako prvý vymyslel elektricky poháňanú električku - dovtedy boli ťahané koňmi alebo parným strojom. Prvá takáto električka jazdila po uliciach Petrohradu po okružnej trase.
2. príklad
Vždy, keď električka zastavila na zastávke, stalo sa toto:
- ak bolo v električke aspoň 7 cestujúcich, tak ich 7 vystúpilo,
- ak bolo v električke menej ako 7 cestujúcich, tak 5 nových cestujúcich pristúpilo.
Električkár sa pýtal Fyodora pár zvedavých otázok:
- Ak je na začiatku v električke 300 cestujúcich, stane sa niekedy, že sa celá vyprázdni?
- Môže byť v električke na začiatku taký počet cestujúcich, že sa električka nikdy nevyprázdni? Ak áno, aký? Ak nie, prečo?
Louis Pasteur bol francúzsky chemik, biológ a lekár. Okrem pasterizácie zaviedol do lekárskej praxe aj očkovanie. Ako prvý totiž objavil vakcínu proti zákernej chorobe - besnote. Nemohol ju ale skúšať hneď na ľuďoch, preto ju najprv vyskúšal na pokusných zajacoch, ovciach, kravách a psoch.
3. príklad
Aby ale vakcína účinne zabrala, musel ju zvieratkám pichnúť vo veľmi špecifickom poradí:
- Ak je zajac zaočkovaný skôr ako ovca, potom musí byť pes zaočkovaný ako posledný.
- Zajac môže byť zaočkovaný neskôr ako pes iba v prípade, že krava bude zaočkovaná až po zajacovi.
- Ovca môže byť zaočkovaná až potom ako je zaočkovaný zajac alebo pes.
- Krava musí byť zaočkovaná skôr ako ovca.
Aké je poradie v ktorom musí Louis Pasteur očkovať zvieratká? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo iné možnosti nie sú.
Pierre Curie a Mária Curie-Skłodovská boli manželský pár veľmi významných vedcov. Za výskum rádioaktivity spolu vyhrali Nobelovu cenu za fyziku. Mária dokonca o pár rokov neskôr vyhrala ďalšiu Nobelovu cenu - tentokrát za chémiu, lebo objavila dva nové prvky - Rádium a Polónium.
4. príklad
Pierre a Mária si jeden večer chceli zahrať hru. Každý myslel na jedno celé číslo od 1 do 30 (vrátane) a potom museli iba otázkami zistiť, aké je číslo toho druhého. Obaja odpovedajú pravdivo a ak sa odpoveď na otázku nedá podľa ich informácii zistiť, povedia “neviem”. Takto sa pýtali:
Mária: Je tvoje číslo dvojnásobok môjho?
Pierre: Neviem. Je tvoje číslo dvojnásobok môjho?
Mária: Neviem. Je tvoje číslo polovica môjho?
Pierre: Neviem. Je tvoje číslo polovica môjho?
Mária: Neviem.
Pierre: Teraz už určite viem tvoje číslo!
Na aké číslo myslí Mária?
Poznámka: Pierre a Mária sa môžu spýtať aj otázku, na ktorú poznajú odpoveď.Alan Turing bol matematik, kryptograf a jeden zo zakladateľov informatiky. Je známy hlavne prelomením nemeckého kódu Enigmy počas 2. svetovej vojne, čím zachránil mnoho životov. Okrem toho vymýšľal aj stroje, ktoré prepisujú čísla na páske podľa určitých pravidiel. Tieto stroje položili základ dnešných počítačov.
5. príklad
Jeden z týchto strojov vedel prepisovať čísla v tabuľke 5 \times 5 nasledovne:
- Buď si vyberie jeden stĺpec a od všetkých čísel v ňom odčíta 1,
- alebo si vyberie jeden riadok a všetky čísla v ňom vynásobí dvomi.
Teraz má Turing tabuľku s rozmermi 5 \times 5. V každom políčku je celé kladné číslo a chcel by ju pomocou stroja prepísať tak, aby v nej boli samé nuly. Vie to určite urobiť bez ohľadu na to, s akými číslami začína? Ak áno, ako to má spraviť? Ak nie, nájdite príklad kedy to nepôjde a vysvetlite prečo.
Nikola Tesla a Thomas Alva Edison boli azda najznámejší rivali vedeckej obce. Tesla propagoval svoj inovatívny vynález striedavého elektrického prúdu a Edison chcel zúfalo udržať na hladine svoj jednosmerný prúd. Pre výhru robili šialené veci, napríklad raz chcel Edison ukázať svoju dominanciu v sčítavaní celých čísel a preto vyzval Teslu na súťaž. Fungovala takto:
6. príklad
Na počiatku bolo číslo 2. Hráč na ťahu môže pripočítať k číslu ľubovoľné kladné celé číslo menšie ako aktuálne číslo. Edison a Tesla sa striedajú v ťahoch. Hru začína hrať Nikola Tesla. Hráč, ktorý napíše číslo 1887 vyhráva. Kto má víťaznú stratégiu?
Poznámka: Víťazná stratégia znamená, že hráč podľa nej dokáže vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá jeho súper. .Kvantová mechanika je odvetvie fyziky zaoberajúce sa elementárnymi časticami. Na jej vypracovaní sa podieľalo mnoho vedcov ako napríklad Erwin Schrödinger, Niels Bohr a Max Planck. Jej súčasťou je mnoho intuitívne nepochopiteľných javov ako napríklad kvantová superpozícia. Erwin Schrödinger dokázal tento koncept vysvetliť pomocou svojej mačky, ktorú zavrel do krabice s jedom. Pokiaľ krabicu neotvorí, mačka je teoreticky živá aj mŕtva zároveň.
7. príklad
Číslo je Schrödingerovské, keď sa dá vypočítať ako súčet 9 po sebe idúcich celých kladných čísel. Číslo je Bohrovské, keď sa dá vypočítať ako súčet 10 po sebe idúcich celých kladných čísel. Číslo je Planckovské, keď sa dá vypočítať ako súčet 11 po sebe idúcich celých kladných čísel. Číslo je v superpozícii stavov, ak je Schrödingerovské, Bohrovské aj Planckovské zároveň.
Nájdite najmenšie takéto číslo a vysvetlite, prečo nemôže byť menšie.
Albert Einstein je snáď jeden z najznámejších fyzikov v histórii. Okrem fyziky sa však venoval aj rôznym iným veciam, napríklad rád hral šach. Raz hral partiu s Heisenbergom (tiež známym fyzikom), ten ale uprostred partie musel na chvíľu odísť. Kým naňho Einstein čakal a nudil sa, tak si predstavoval, že sú na šachovnici nejaké čísla.
8. príklad
V každom políčku šachovnice 8 \times 8 je napísané celé číslo tak, aby každé číslo bolo aritmetický priemer nejakých dvoch jeho susedných čísel (susedné sú tie, ktorých políčka sa dotýkajú hranou). Koľko najviac rôznych čísel môže byť na šachovnici a ako sa to dá dosiahnuť? Nezabudnite vysvetliť, prečo ich už nemôže byť viac.
Jane Goodallová je britská biologička, ktorá sa zaoberala výskumom primátov. V Tanzánii študovala správanie divokých šimpanzov a prišla na rôzne zaujímavé veci, napríklad že šimpanzy vedia používať nástroje, prejavujú svoje emócie, alebo že sú mäsožravce. Počas svojho štúdia sa spriatelila s odvrhnutým šimpanzím mláďaťom Flintom, vďaka ktorému sme sa veľa dozvedeli o dospievaní ľudoopov.
9. príklad
Jedného dňa Flinta kopla múza a začal do hliny čmárať nejaký podivný geometrický útvar. Jane to zaujalo a rozhodla sa obrázok preskúmať.
Flint nakreslil trojuholník ABC. Stred strany AC označil D. Na úsečke BD postupne nakreslil body E a F tak, že tieto body ju delia na tretiny, čiže |BE|=|EF|=|FD|=\frac{1}{3}|BD|. Jane od Flinta zistila, že dĺžka úsečky AB je 1 a úsečka AF je rovnako dlhá ako úsečka AD. Pomôžte Jane zistiť dĺžku úsečky CE.
James Hutton bol škótsky meteorológ a geológ, považovaný za “Otca modernej geológie”. Svojim výskumom výrazne prispel k nášmu dnešnému chápaniu procesov v zemskej kôre, ale aj v atmosfére.
10. príklad
Raz, keď išiel domov, zbieral po ceste minerály, ktoré našiel na zemi. Keď prišiel domov, spočítal ich a roztriedil ich podľa farieb. Teraz by ich rád uložil do krabíc takým spôsobom, aby zostali čo najroztriedenejšie ako sa dá.
Hutton nazbieral n^2 minerálov najviac n rôznych farieb (ale nie nutne n minerálov z každej farby). Chce ich rozmiestniť do n krabíc. Dokážte, že vie do každej krabice dať n minerálov tak, aby v každej krabici boli minerály najviac dvoch rôznych farieb.