Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok
×6. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Na počiatku bolo číslo 2. Hráč na ťahu môže pripočítať k číslu ľubovoľné kladné celé číslo menšie ako aktuálne číslo. Edison a Tesla sa striedajú v ťahoch. Hru začína hrať Nikola Tesla. Hráč, ktorý napíše číslo 1887 vyhráva. Kto má víťaznú stratégiu?
Poznámka: Víťazná stratégia znamená, že hráč podľa nej dokáže vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá jeho súper. .Vzorové riešenie
Pozrime sa na túto úlohu od konca. Keď má hráč pred svojím ťahom napísané číslo, z ktorého sa vie dostať na 1887, pridá číslo, ktorým sa dostane na 1887 a vyhráva.
944 je prvé také číslo, lebo 944+943=1887. Číslo 943 je ešte málo, lebo z 943 sa vieme dostať maximálne na 943+942=1885. Môžme si všimnúť, že 943 sa dá dostať len na čísla od 944 do 1885 (943+1 až 943+942) , teda len čísla, z ktorých sa dá vyhrať. Z toho vyplíva, že ten, kto má teda pred svojím ťahom 943 prehral.
Teraz zopakujeme ten istý postup, len s tým, že sa nepotrebujeme dostať na číslo 1887, ale len na číslo 943, lebo sme ukázali, že ak sa dostaneme na 943, už sa vieme zaručene dostať aj na 1887.
472 je prvé číslo, z ktorého sa dá dostať na 943, lebo 472+471=943. Číslo 471 je ešte málo, lebo 471+470=941. Zo 471 sa dá teda dostať len na čísla 472 až 941, teda len na čísla, z ktorých sa dostaneme na 943 a odtiaľ už vyhrať vieme.
Teraz máme znovu rovnakú úlohu, len sa nám stačí vedieť dostať na 471 a potom už vyhrať vieme.
Tento postup ešte niekoľkokrát zopakujeme a dostaneme sa k tomu, že sa postupne potrebujeme dostať na čísla 3,7,14,29,58,117,235,471,943 a potom vyhráme napísaním 1887
Zo žiadneho z týchto čísel sa súper nevie dostať na nasledujúce, alebo vyššie, lebo nasledujúce číslo je aspoň dvakrát väčšie, než predchádzajúce a druhý hráč vie pripočítať maximálne číslo o 1 menšie, než terajšie číslo, teda jedným ťahom nevie číslo zdvojnásobiť.
Taktiež ku každému číslu musí súper vždy prirátať aspoň 1 a potom sa vieme dostať na nasledujúce číslo(4+3=7, 8+6=14,15+14=29,30+28=58,59+58=117,118+117=235,236+235=471,472+471=943,944+943=1887)
Týmto sme dokázali, že výhernú stratégiu má hráč, ktorý napíše číslo 3, lebo potom vie napísať na nasledujúci ťah vždy nasledujúce číslo v rade a teda aj 1887.
Keďže začína Tesla a na papieri je napísané číslo 2, vie prirátať 1 a zvýšiť číslo na 3 a potom už len navyšuje vždy na nasledujúce číslo v rade a tak napíše 1887 a vyhrá.
Odpoveď:
Víťaznú stratégiu má prvý hráč, čiže Tesla.