Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok
×4. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Pierre a Mária si jeden večer chceli zahrať hru. Každý myslel na jedno celé číslo od 1 do 30 (vrátane) a potom museli iba otázkami zistiť, aké je číslo toho druhého. Obaja odpovedajú pravdivo a ak sa odpoveď na otázku nedá podľa ich informácii zistiť, povedia “neviem”. Takto sa pýtali:
Mária: Je tvoje číslo dvojnásobok môjho?
Pierre: Neviem. Je tvoje číslo dvojnásobok môjho?
Mária: Neviem. Je tvoje číslo polovica môjho?
Pierre: Neviem. Je tvoje číslo polovica môjho?
Mária: Neviem.
Pierre: Teraz už určite viem tvoje číslo!
Na aké číslo myslí Mária?
Poznámka: Pierre a Mária sa môžu spýtať aj otázku, na ktorú poznajú odpoveď.Vzorové riešenie
Najlepší postup pri riešení tejto úlohy je si postupne prechádzať otázky a odpovede a určiť všetko čo z nich vyplýva. Pri každej otázke totiž existujú čísla, pri ktorých by odpovedali inak ako “neviem”. Pri číslach ktoré určite nespĺňajú podmienku z otázky (bez ohľadu na to, aké z možných čísel má ten druhý) by odpovedali nie. O takýchto číslach potom vieme povedať, že ich určite mať nemôžu, a s touto vedomosťou sa nám znížia možnosti aj pri ďalšej otázke.
Mária sa v prvej otázke pýta: „Je tvoje číslo dvojnásobok môjho?“ a Pierre odpovie „Neviem“.
Aby Pierrovo číslo mohlo byť dvojnásobkom Máriinho, muselo by byť párne, pretože všetky dvojnásobky sú párne. Ak by jeho číslo bolo nepárne, isto by vedel, že nie je dvojnásobkom Máriinho a preto by povedal “nie”. Z toho vyplýva, že Pierre nemôže mať nepárne, a teda musí mať párne číslo.
V druhej otázke sa Pierre pýta Márie: „Je tvoje číslo dvojnásobok môjho?“ a Mária odpovie „Neviem“.
Mária už vie, že Pierre má párne číslo, čiže otázku môže interpretovať ako: „Je tvoje číslo byť dvojnásobok môjho párneho čísla?“ Čísla, ktoré sú dvojnásobkom párneho čísla sú v podstate násobky štvorky (čiže 2*2=4, 4*2=8, 6*2=12,...14*2=28). Keď Mária odpovie „neviem“, znamená to, že jej číslo je jedným z násobkov štvorky pod 30. Ak by nebolo, mohla by s istotou povedať „nie“.
V tretej otázke sa Mária pýta: „Je tvoje číslo polovica môjho?“ a Pierre jej odpovie „Neviem“.
Mária aj Pierre vedia, že Mária musí mať násobok štvorky. Pierre svojou odpoveďou povedal, že jeho číslo je niektoré z Máriiných násobkov štvorky zmenšených o polovicu. Jeho čísla teda môžu byť 28:2=14, 24:2=12… (čiže párne čísla do 15). Kebyže je číslo väčšie ako 15, jeho dvojnásobok by bol väčší ako 30, čo Mária nemôže mať podľa pravidiel hry a musel by odpovedať „nie“.
Vo štvrtej otázke sa Pierre opýta Márie: „Je tvoje číslo polovica môjho?“ a ona odpovie „Neviem“.
Vieme, že Pierre má niektoré z párnych čísel menších ako 15. Pierre teraz od Márie zistil, že jej číslo je jedno z polovíc jeho čísel. To sú konkrétne celé čísla pod 7 vrátane (čiže 1, 2, 3,...7). Kebyže je jej číslo väčšie ako 7, jeho dvojnásobok by musel byť väčší ako 15. Lenže my vieme, že jeho dvojnásobok – čo je Pierrovo číslo – nemôže byť väčší ako 15.
V tomto momente už Pierre vie povedať, aké je Máriino číslo. Vie dve dôležité informácie:
- Máriino číslo je násobkom štvorky. Čo zistil po druhej otázke.
- Máriino číslo je niektoré z celých čísel menších alebo rovných 7. To vie po štvrtej otázke.
Keď sa na to pozrieme, Máriino číslo musí spĺňať obe tieto podmienky naraz. Také číslo je len jedno a je to práve číslo 4. Je to násobok štvorky a taktiež je menšie alebo rovné 7.
Odpoveď:
Máriino číslo je 4.