Koniec: 29. november 202122:00
Do konca: 2 dni, 14 hodín

Dobrý večer, vážení diváci! Vítam vás dnes pri treťom a poslednom dieli našej kuchárskej súťaže, Variešky. Ako iste viete, touto epizódou vrcholí súboj medzi poslednými dvoma súťažiacimi: Šálkom a Jergušom Kuchárom. V prvej časti súťažiaci varili polievky, v druhej hlavné jedlá. Určite teda nikoho neprekvapí, že dnes sa pokúsia pripraviť čo najlepšie dezerty.

Na našich sociálnych sieťach sú už dohady o tom, kto asi vyhrá, v plnom prúde! Nezabudnite sa teda aj vy pozrieť na náš Facecook a Instantsoup a skúste šťastie v našom kuchárskom bingu!

1. príklad

Kategórie:
5

Kuchárske bingo má tvar tabuľky deviatich políčok so štyrmi číslami:

Doplňte do piatich prázdnych štvorčekov po jednom prirodzenom čísle tak, aby:
  • súčet všetkých čísel v tabuľke bol 44,
  • súčet čísel v každom štvorci zloženom zo štyroch štvorčekov bol rovnaký.
Keď nájdete riešenie, nezabudnite ešte ukázať, prečo žiadne iné umiestnenie čísel nemôže fungovať.

Komentáre (2)

  • VincentHuna
    14. november 2021 18:21

    Dobrý deň, prosím môžu byť v tabuľke 2 číslice rovnaké? Ďakujem.

  • Danko Vedúci
    14. november 2021 18:27

    Ahoj,
    pre čísla neplatia žiadne iné obmedzenia ako sú uvedené v zadaní. Treba preto rátať aj s možnosťou, že čísla môžu byť rovnaké.

    Danko

  • Pridaj komentár

Ale teraz už nestrácajme čas a poďme sa rovno pozrieť na nášho prvého súťažiaceho! Pred nami vidíme Šálku v jeho prirodzenom prostredí; prechádza sa a pravdepodobne premýšľa, čo uvariť! Asi neexistuje veľa dezertov v šálke, či?

2. príklad

Kategórie:
5
6
Šálka sa najprv otočí na sever a spraví 1 krok dopredu. Potom sa otočí o 90 stupňov doprava, a spraví 2 kroky dopredu. Potom sa zase otočí o 90 stupňov doprava a spraví dopredu 3 kroky. Takto pokračuje, vždy sa otočí o 90 stupňov doprava a spraví o krok viac ako minule. Keď sa Šálka otočil doprava po 80.-krát, hlava sa mu zatočila takým spôsobom, že mu napadol ten správny recept. Bol ale ďaleko mimo televízneho setu. Teraz sa chce vrátiť tam, kde začínal, no chce aj naďalej kráčať len na sever, juh, východ, alebo západ. Koľko najmenej krokov musí spraviť v každom z týchto smerov, aby sa mu to podarilo?

Komentáre (5)

  • bazdu
    13. november 2021 12:50

    Smery sa myslia, že aby sa vrátil musí spraviť napr. x krokov dopredu, potom sa otočí a znova spraví y krokov dopredu alebo inak?

    Ďakujem

  • bazdu
    13. november 2021 12:50

    Smery sa myslia, že aby sa vrátil musí spraviť napr. x krokov dopredu, potom sa otočí a znova spraví y krokov dopredu alebo inak?

    Ďakujem

  • Danko Vedúci
    13. november 2021 15:48

    Ahoj,
    Šálka už nemusí kráčať ako doteraz. Pôjde v niektorých zo štyroch spomínaných smerov (nemusí vo všetkých) tak, aby sa na začiatok dostal po čo najmenej krokoch.

    Mišo

  • DanielLaurovic
    18. november 2021 10:48

    Môže ísť len v jednom smere po otočení? Len - znamená, že môže použiť len jeden smer ktorý si vyberie a o ňom má zistiť či je ten naj? Napr. Sever ako to bolo smerom tam. Môže či nemôže počas jedného návratu vystriedať viac smerov?

  • Danko Vedúci
    24. november 2021 17:43

    Ahoj,
    kroky robí Šálka iba rovno, no počas návratu sa môže aj otáčať, a urobiť tak kroky aj do dvoch smerov, ak to je treba.

    Danko

  • Pridaj komentár

“Už to mám! Napečiem Šálkove Šálkové Brownies! Hneď si idem namerať, koľko surovín idem použiť.”
Máš na to nejaké konkrétne hodnoty?
“No, to závisí od toho, koľko porcií plánujem urobiť.”
Jasné.
“Mám na to špeciálne tlačidlo na mojej kalkulačke, aby sa mi to ľahko počítalo.”

3. príklad

Kategórie:
5
6
7
Šálka má špeciálne tlačidlo na kalkulačke, ktoré môže stlačiť po zadaní čísla. Vtedy kalkulačka zadané číslo najprv zväčší o štyri, potom výsledok vydelí štyrmi, od toho odčíta štyri a nakoniec to celé ešte štyrmi vynásobí. Výsledné číslo zobrazí na displeji. Šálka do kalkulačky zadal číslo, ktoré si aj poznačil na papier. Potom stlačil špeciálne tlačidlo, a zapísal si výsledok. Nové napísané číslo zadal do kalkulačky, stlačil tlačidlo a výsledok si opäť zapísal. Napokon zadal do kalkulačky aj toto číslo a zapísal si na papier výsledok, ktorý dostal po stlačení špeciálneho tlačidla. Potom zistil, že súčet štyroch čísel zapísaných na papieri je 80. Ktoré čísla a v akom poradí si Šálka zapísal na papier?

Komentáre (2)

  • bazdu
    04. november 2021 21:52

    Zdravim, cisla, s ktorymi pracuje kalkulacka su iba prirodzene cisla alebo tam moze byt aj nula?
    Dakujem, Palko.

  • Danko Vedúci
    05. november 2021 13:47

    Ahoj,
    keďže v zadaní nie sú spomenuté, pre čísla neplatia žiadne obmedzenia, nemusia to byť iba prirodzené čísla.

    Danko

  • Pridaj komentár

Máš veľa skúseností s pečením brownies?
“Celkom hej. Je to jeden z mojich obľúbených dezertov.”
Tomu sa nečudujem. Už len z toho, že vidím ingrediencie, mi tečú sliny. Necháme ťa teda pracovať a kým sa brownies pečú, poďme sa spoločne pozrieť, ako sa po súťaži darí vyradeným súťažiacim.

Prvú vidíme Anku, ktorá sa po prehre v súťaži vrátila do svojho bezstarostného života. Okrem prevádzkovania obrovskej veže s príšerami sa hráva aj rôzne detské hry, pravda, väčšinou je pri tom jej cieľom niekoho obabrať o nenulové množstvo bohatstva.

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8

Anka si chce na zem nakresliť škôlku. Škôlka sa skladá z postupnosti jednotlivých štvorčekov alebo dvojíc štvorčekov, s hranou dĺžky 1 \, \text{dm}. Tie sú za sebou nakreslené tak, že sa dotýkajú hranami. Môže to vyzerať napríklad takto:

Nakoniec si teda Anka jednu takúto škôlku nakreslila. Dohromady musela nakresliť čiary dĺžky 26 \, \text{dm} (ak sa dva štvorčeky dotýkajú hranami, tú časť stačí nakresliť iba raz). Ako mohla jej škôlka vyzerať? Nájdite všetky možnosti.

Poznámka: Napríklad škôlka na obrázku je vytvorená z čiar, ktoré majú dokopy dĺžku 22 \, \text{dm}.

Komentáre (2)

  • bazdu
    24. november 2021 15:03

    Musi skolka vyzerat tak ako by vyzerala v realnom zivote alebo moze mat hocijaky tvar?

  • Danko Vedúci
    24. november 2021 17:44

    Ahoj,
    škôlka môže vyzerať akokoľvek, ak sú to za sebou nakreslené dvojice alebo samotné políčka v jednom rade.

    Danko

  • Pridaj komentár

Náš druhý neúspešný súťažiaci, Chlochlochlo, prehru nezniesol až tak dobre ako Anka. V prastarých legendách sa hovorí, že jeho mrmlanie bolo potom také neskutočne mrzuté, že ho počuť naprieč celým časopriestorom v podobe toho, čomu sa hovorí “mikrovlnné kozmické pozadie”. Napriek tomu ďalší príklad nie je o mikrovlnkách, ale o budíku. Budík je aj tak v podstate len taká mikrovlnka, len nič nezohrieva. Chlochlochlo sa teda rozhodol svoje životné problémy riešiť spánkom a nastavením budíka na nedohľadno.

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Chlochlochlo zadáva počet sekúnd, ktoré chce prespať, do svojho budíka. Zadáva ho pomocou desiatich tlačítok s ciframi. Tlačítko s nulou je na spodku a zvyšných deväť je v mriežke, kde sú riadky aj stĺpce očíslované tak ako na obrázku:

Číslo, ktoré Chlochlochlo zadáva, je strašne obrovské a preto Chlochlochlo chce, aby aspoň nemalo tak veľa rôznych cifier. Preto vie ľubovoľné číslo po čísliciach zakódovať nasledovným spôsobom:

  • Každá cifra 0 ostáva cifrou 0.
  • Každá nenulová cifra sa zmení na dve cifry, označujúce riadok a stĺpec tlačítka, na ktorom sa cifra nachádza v tabuľke.
Koľko existuje štvorciferných čísel takých, že po ich zakódovaní sa nezmení ani ich ciferný súčet, ani ich ciferný súčin?

Poznámka: Napríklad 4 sa zmení na 21, 3 sa zmení na 13 a číslo 5760 by zakódovalo na 2231230.

Komentáre (3)

  • AdelaHeftyova
    20. november 2021 14:47

    Môže sa 4-ciferné číslo ktoré chceme zakódovať začínať 0?

  • AdelaHeftyova
    20. november 2021 18:16

    Ešte mám ďalšiu otázku.. Ak by napríklad čísla 5760 a 7560 spĺňali podmienky v zadaní, zarátali by sme ich dvakrát?
    Vopred ďakujem za odpoveď..

  • Danko Vedúci
    22. november 2021 13:16

    Ahoj,
    Otázka hovorí, že máme zistiť koľko štvorciferných čísiel spĺňa zadané podmienky. Štvorciferné čísla sú čísla od 1000 do 9999 (je ich 9000), teda žiadne z nich sa nezačína nulou a v týchto číslach sú zarátané čísla 5760 aj 7560, osobitne. Týchto 9000 čísel môže spĺňať podmienku v zadaní, a my sa pýtame koľko z nich to bude.

    Danko

  • Pridaj komentár

Ale teraz už je najvyšší čas pozrieť sa naspäť do kuchyne, pretože na rade je už náš druhý a posledný súťažiaci Jerguš Kuchár!

Aký dezert budeš variť, Jerguš?
“Porotcov ohúrim lahodnou delikatesou - ovocným pudingom.”
Keď povieš ‘lahodná delikatesa’, puding rozhodne nie je prvá vec, čo mi napadne.
“To nie je môj problém, že máš príliš jednoduché chuťové poháriky. Našťastie jedlo nehodnotíš ty, ale naši skvelí porotcovia.”
“Počkaj, kde sú tu práškové pudingy? Nikde ich neviem nájsť. Idem sa spýtať všemocnej kuchárskej knihy.”

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Na to, aby Jergušovi kuchárska kniha odpovedala, musí najskôr zodpovedať otázku, ktorú mu položila. Pre celé číslo n a nepárne číslo m si označme násobok m najbližší k číslu n označením (n)_m. O celých číslach x a y platia tieto rovnice:

\displaystyle (4x)_5 + 7y = 15 \\ (2y)_5 - (3y)_7 = 74

Vypočítajte hodnotu x a y.

Komentáre (6)

  • TimotejManczal
    04. november 2021 21:35

    Dobrý deň,
    rátajú sa aj rovnaké násobky za najbližšie napr: n=100 a m=5 tak potom je najbližší násobok 100 alebo čo ak nie?
    Ďakujem.

  • Danko Vedúci
    04. november 2021 23:19

    Ahoj,
    ako najbližší násobok sa môže rátať aj rovnaké číslo, keďže je od n-ka vzdialený 0, čo je nepochybne najbližšie.

    Danko

  • bazdu
    06. november 2021 10:40

    Dobrý deň
    vsimol som si, že Jerguš Kuchar sa v prvom kole volal Ján Kuchár a v druhom kole sa volal Jakub Kuchár. Prečo každé kolo mení meno?
    Ďakujem

  • bazdu
    06. november 2021 10:40

    Dobrý deň
    vsimol som si, že Jerguš Kuchar sa v prvom kole volal Ján Kuchár a v druhom kole sa volal Jakub Kuchár. Prečo každé kolo mení meno?
    Ďakujem

  • havos Vedúci
    06. november 2021 14:06

    Ahoj,
    Jozef Kuchár je veľmi poctivý človek a takýmito zmenami mien určite nesleduje žiadne nekalé ciele.

    za vedúcich,
    Jura- teda, chcem povedať Havoš

  • timovalky
    09. november 2021 14:13

    Nie je nahodou chyba v zadani?

  • Pridaj komentár

“To si zo mňa snáď robíš srandu. Nielenže miniem polovicu súťažného času riešením nejakých hlúpych rovníc, ale odpoveď na moju otázku je iba ‘v tej poličke, do ktorej si sa už trikrát pozrel’? To som tie pudingy radšej mohol hľadať sám.”
Voláš sa predsa Jerguš Kuchár, nie Jerguš Matematik!
“Nesmej sa na mne a na mojom dokonalom priezvisku. Stavím sa, že si taký trápny, že si ani každý týždeň nemeníš krstné meno a nemažeš všetkým ostatným spomienky na to predchádzajúce… Teda, samozrejme, že nie, neviem ako mi to napadlo. Ja to určite tiež nerobím.”
Nerozumiem, čo tým myslíš.
“To je dobre. Radšej sa idem rozhodnúť, ako budem pudingy servírovať.”

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Jerguš bude servírovať pudingy m \geq 5 porotcom, ktorí sedia okolo kruhového stola. Má na výber šesť rôznych príchutí pudingu a chce ich naservírovať tak, aby v žiadnej skupine piatich susedných porotcov nemali dvaja rovnakú príchuť pudingu. Pre aké počty porotcov to tak vie urobiť? Nezabudnite aj poriadne zdôvodniť, prečo to pre ostatné počty nepôjde.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

“Keď už mám príchute pudingu vybraté, musím ho ešte uvariť.”
Už vidím, ako ho pripáliš.
“Ja a pripáliť puding? Vieš predsa, že…”
Že sa voláš Jerguš Kuchár? Áno viem. Už s tým prestaň, tvoje priezvisko nezaručuje, že vieš variť.
“Dobre, dobre. Na varenie pudingu treba využiť špeciálne hrnce.”

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Hrniec na puding vyzerá ako trojuholník ABC. Označme I stred jeho vpísanej kružnice a D, E, F postupne jej body dotyku so stranami BC, AC, AB. Priamka p nech prechádza bodom B a je rovnobežná s úsečkou DE. Priesečník priamok \overleftrightarrow{\rm AC} a p označme G. Ak poznáte uhol \measuredangle ABC, určte uhol \measuredangle CGI.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

“Tak a to je všetko.”
To ho necháš takto? Ani ho neozdobíš?
“Načo by som ho zdobil? Veď je na jedenie.”
Aby vyzeral pekne, predsa. Na to je zdobenie. A keď jedlo vyzerá dobre, aj ti lepšie chutí.
“Tak teda dobre. Ozdobím ho piškótami. Ale musím si dať pozor, nech je rovnomerne ozdobený.”

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Puding vyzerá ako mriežka n \times n, kde n je nepárne. Ideme ho zdobiť piškótami. Najskôr do ľavého horného rohu dáme jednu piškótu. Potom budeme pokračovať opakovaním nasledovných krokov:
  1. Posunieme sa o dve políčka doprava, a o jedno políčko dole. Ak by sme mali vyjsť z okraja mriežky, znova do nej vojdeme na opačnej strane.
  2. Ak stojíme na políčku, na ktorom už sú nejaké piškóty, posunieme sa ešte raz, ale tentokrát o dve políčka doľava a o jedno políčko dole.
  3. Nakoniec na políčko, na ktorom stojíme, položíme o jedna viac piškóty, ako sme dali naposledy.

Takýmto spôsobom celú mriežku zaplníme všetkými počtami piškót od 1 do n^2. Dokážte, že keď skončíte, počet piškót v každom riadku a stĺpci bude rovnaký.

Na obrázkoch môžete vidieť, ako v mriežke 3 \times 3 vyplníme prvé tri políčka a ako vyplníme to štvrté.

Poznámka/dovysvetlenie: Ak v prvom kroku urobíme krok doprava von z mriežky, posunieme sa na prvé políčko z ľava v danom riadku. Podobne sa presunieme navrch pri kroku von z tabuľky smerom dole.

Komentáre (2)

  • OliverKusnir
    10. november 2021 19:40

    Ako mám dokázať že v každom riadku aj stĺpci bude rovnaký počet piškót keď to pri tabuľke 3x3 nefunguje?

  • stepi Vedúci
    12. november 2021 20:23

    Ahoj,
    v tabuľke 3x3 to funguje, súčet v každom riadku aj stĺpci je 15. Počty piškótov v jednotlivých políčkach by mali byť takéto:
    1, 8, 6
    9, 4, 2
    5, 3, 7
    Ak ti to nevychádza, poriadne si prečítaj zadanie a pozri obrázky, či piškóty dopĺňaš tak, ako máš. Možno si to skús na väčšej tabuľke, tam sa v tom ľahšie vyzná, lebo sa menej skáče cez okraj.
    za vedúcich Štepi

  • Pridaj komentár

A nakoniec tá časť, na ktorú všetci čakajú: hodnotenie. Porotcovia ochutnali, teraz je čas na výsledok. Najskôr by však porotcovia chceli niečo povedať k obom dezertom, v rovnakom poradí ako sme ich súťažiacich videli variť, aby to neprezradilo nič o finálnom poradí.
“Áno, ďakujem. Najskôr sme ochutnali Šálkove Šálkové brownies. Všetci sme sa zhodli, že chutili výborne.”
A čo Jergušov Puding?
“Bol to puding, čo mám k tomu viac povedať. Na počudovanie všetkých nebol pripálený.”
Ďakujeme teda súťažiacim, výhercom našej súťaže Variešky sa stáva… Šálka! Srdečne gratulujem. Stávaš sa výhercom slušnej sumy peňazí… Koľko to vlastne bolo? Malo to tuším niečo s ‘trojkovými číslami’.

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Trojkové číslo je také, ktoré je deliteľné tromi alebo obsahuje cifru 3. Vyjadrite počet trojkových čísel od 1 po 10^n v závislosti od n (vyjadrite výrazom iba za použitia n a základných aritmetických operácii vrátane mocnín).

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

Tak teda s radosťou gratulujeme Šálkovi a dúfame, že cenu minie na niečo lepšie ako Jergušovo varenie. Aj keď to vlastne nebude také ťažké. Každopádne dúfame, že vám, divákom, jedlo chutilo! Presnejšie povedané, čítanie o jedle. Máte chuť na dezert? Dovoľte nám povedať vám zopár slov od našich sponzorov! Predstavujeme vám Austrálske gumové žížalky! Sú úplne ako normálne gumové žížalky, až na to, že sú mnohonásobne dlhšie!

Prémia 1

Kategórie:
5
6
7
8
9
Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.

Nakreslite do tabuľky 16 \times 16 gumovú žížalku prechádzajúcu čo najviac políčkami tak, že najprv prejde tri políčka rovno, potom zabočí o 90 stupňov, prejde dve rovno, zabočí o 90 stupňov, prejde jedno rovno, zabočí o 90 stupňov a potom znova opakuje od začiatku. Nesmie pri tom žiadne políčko navštíviť viac ako raz.

Príklad: Na obrázku sme nakreslili podľa rovnakých pravidiel do tabuľky žížalku do tabuľky 5 \times 6. Prechádza 13 políčkami.

Komentáre (2)

  • andrej
    06. november 2021 15:15

    Dobrý deň, chcel by som sa spýtať či žížalka môže začínať na ľubovoľnom políčku, alebo iba z kraja plánika, alebo iba z rohu?
    Vopred ďakujem za odpoveď.

  • stepi Vedúci
    08. november 2021 13:58

    Ahoj Andrej,
    nie je napísané, že by žížalka musela začínať na nejakom konkrétnom políčku, takže môže začínať na ľubovoľnom.
    za vedúcich Štepi

  • Pridaj komentár