6. príklad - Vzorové riešenie

Uvedomme si, že zaokrúhlením čísla n na najbližší násobok 7 sa určite nezmení o viac ako o 3. Prečo? Označme si tento najbližší násobok 7 písmenom s. Vieme aj, že s-7 a s+7 budú násobky 7, pretože každé siedme celé číslo je násobkom 7. Teraz ukážme, prečo n nemôže byť od s vzdialenejšie ako o 3:
Pokiaľ n = s-4 alebo menej, tak s prestane byť najbližším násobkom 7, pretože s-7 je k n bližšie. Rovnako keby n = s+4 alebo viac, tak s+7 je k n bližšie ako s.

Rovnako platí, že zaokrúhlením n na najbližší násobok 5, ktorý označíme p, sa určite nezmení o viac ako 2, pretože keby n = p+3 alebo viac tak by bolo p+5 bližšie, a keby n = p-3 alebo menej tak by bolo bližšie p-5.

Pozrime sa teraz na prvú rovnicu:

(4x)_5 + 7y = 15

Spravme menšiu úpravu odrátaním prvého sčítanca od oboch strán:

7y = 15 - (4x)_5

Vidíme, že oba sčítance na pravej strane sú násobky 5, teda celá pravá strana je násobkom 5. Z toho logicky vyplýva, že ľavá strana, ktorá je rovná 7y, je tiež násobkom 5. 7y je zjavne aj násobkom 7, teda platí, že 7y je násobkom 5 \cdot 7 = 35. To znamená, že 7y vieme napísať ako 35k, kde k je nejaké celé číslo. Upravme rovnicu vydelením oboch strán 7 a dostaneme 5k = y. Takže vidíme, že y je nejaký celočíselný násobok 5.

Okrem toho si z tohto vieme odvodiť, že aj 2y je násobok 5, a teda (2y)_5 musí byť 2y, pretože žiaden iný násobok 5 nebude bližšie k 2y ako ono samotné.

Prejdime na druhú rovnicu:

(2y)_5 - (3y)_7 = 74

Ako sme pred chvíľou ukázali, vieme si ju upraviť nasledovne:

2y - (3y)_7 = 74

Vieme už, že menšiteľ (3y)_7 sa musí od 3y líšiť o najviac 3. To znamená, že celá ľavá strana rovnice sa od 2y-3y = -y môže líšiť najviac o 3, a teda aj pravá strana 74 sa musí od -y líšiť najviac o 3. Inak povedané, -y musí byť nejaké číslo od 74-3 = 71 do 74+3 = 77. Obrátime znamienko, a zisťujeme, že y musí byť číslo od -77 do -71. Už ale vieme, že y je násobkom 5, a jediné číslo v tomto rozsahu deliteľné 5 je -75. Teda vieme, že musí platiť, že y = -75.

Dosaďme túto hodnotu do prvej rovnice:

(4x)_5 + 7 \cdot (-75) = 15

(4x)_5 - 525 = 15

(4x)_5 = 540

4x = 540

x = 135

Podarilo sa nám ukázať, že hodnoty x a y môžu byť iba 135 a -75. Stále je však možné, že toto nie je správne riešenie, ak žiadne neexistuje. Preto spravme skúšku správnosti:

(4x)_5 + 7y = 15

(540)_5 - 525 = 15

540 - 525 = 15

15 = 15

(2y)_5 - (3y)_7 = 74

(-150)_5 - (-225)_7 = 74

-150 - (-224) = 74

-150 + 224 = 74

74 = 74

Teraz vidíme, že naše riešenie rovnici naozaj vyhovuje.

Odpoveď: x = 135; y = -75

Komentár

Najviac chýb spočívalo v tom, že riešenia predpokladali, že keď hľadáme číslo, ktorého najbližší násobok m je mk, tak jedinou možnosťou je najbližšie číslo k mk. Napríklad keď hľadáme násobok 3, pre ktorý platí, že jeho najbližší násobok 7 je 28, tak to nemusí znamenať, že hľadaným násobkom je 27. Aj 30 je totiž zo všetkých násobkov 7 najbližšie k 28, napriek tomu, že je od 28 ďalej ako 27.