Verzia na tlač sa pripravuje...

Zadania 3. kola

Termín: 29. november 2021 22:00
Aktuálny termín sa nachádza na stránke https://riesky.sk

Dobrý večer, vážení diváci! Vítam vás dnes pri treťom a poslednom dieli našej kuchárskej súťaže, Variešky. Ako iste viete, touto epizódou vrcholí súboj medzi poslednými dvoma súťažiacimi: Šálkom a Jergušom Kuchárom. V prvej časti súťažiaci varili polievky, v druhej hlavné jedlá. Určite teda nikoho neprekvapí, že dnes sa pokúsia pripraviť čo najlepšie dezerty.

Na našich sociálnych sieťach sú už dohady o tom, kto asi vyhrá, v plnom prúde! Nezabudnite sa teda aj vy pozrieť na náš Facecook a Instantsoup a skúste šťastie v našom kuchárskom bingu!

1. príklad

Kategórie:
5

Kuchárske bingo má tvar tabuľky deviatich políčok so štyrmi číslami:

Doplňte do piatich prázdnych štvorčekov po jednom prirodzenom čísle tak, aby: Keď nájdete riešenie, nezabudnite ešte ukázať, prečo žiadne iné umiestnenie čísel nemôže fungovať.
Ale teraz už nestrácajme čas a poďme sa rovno pozrieť na nášho prvého súťažiaceho! Pred nami vidíme Šálku v jeho prirodzenom prostredí; prechádza sa a pravdepodobne premýšľa, čo uvariť! Asi neexistuje veľa dezertov v šálke, či?

2. príklad

Kategórie:
5
6
Šálka sa najprv otočí na sever a spraví 1 krok dopredu. Potom sa otočí o 90 stupňov doprava, a spraví 2 kroky dopredu. Potom sa zase otočí o 90 stupňov doprava a spraví dopredu 3 kroky. Takto pokračuje, vždy sa otočí o 90 stupňov doprava a spraví o krok viac ako minule. Keď sa Šálka otočil doprava po 80.-krát, hlava sa mu zatočila takým spôsobom, že mu napadol ten správny recept. Bol ale ďaleko mimo televízneho setu. Teraz sa chce vrátiť tam, kde začínal, no chce aj naďalej kráčať len na sever, juh, východ, alebo západ. Koľko najmenej krokov musí spraviť v každom z týchto smerov, aby sa mu to podarilo?
“Už to mám! Napečiem Šálkove Šálkové Brownies! Hneď si idem namerať, koľko surovín idem použiť.”
Máš na to nejaké konkrétne hodnoty?
“No, to závisí od toho, koľko porcií plánujem urobiť.”
Jasné.
“Mám na to špeciálne tlačidlo na mojej kalkulačke, aby sa mi to ľahko počítalo.”

3. príklad

Kategórie:
5
6
7
Šálka má špeciálne tlačidlo na kalkulačke, ktoré môže stlačiť po zadaní čísla. Vtedy kalkulačka zadané číslo najprv zväčší o štyri, potom výsledok vydelí štyrmi, od toho odčíta štyri a nakoniec to celé ešte štyrmi vynásobí. Výsledné číslo zobrazí na displeji. Šálka do kalkulačky zadal číslo, ktoré si aj poznačil na papier. Potom stlačil špeciálne tlačidlo, a zapísal si výsledok. Nové napísané číslo zadal do kalkulačky, stlačil tlačidlo a výsledok si opäť zapísal. Napokon zadal do kalkulačky aj toto číslo a zapísal si na papier výsledok, ktorý dostal po stlačení špeciálneho tlačidla. Potom zistil, že súčet štyroch čísel zapísaných na papieri je 80. Ktoré čísla a v akom poradí si Šálka zapísal na papier?

Máš veľa skúseností s pečením brownies?
“Celkom hej. Je to jeden z mojich obľúbených dezertov.”
Tomu sa nečudujem. Už len z toho, že vidím ingrediencie, mi tečú sliny. Necháme ťa teda pracovať a kým sa brownies pečú, poďme sa spoločne pozrieť, ako sa po súťaži darí vyradeným súťažiacim.

Prvú vidíme Anku, ktorá sa po prehre v súťaži vrátila do svojho bezstarostného života. Okrem prevádzkovania obrovskej veže s príšerami sa hráva aj rôzne detské hry, pravda, väčšinou je pri tom jej cieľom niekoho obabrať o nenulové množstvo bohatstva.

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8

Anka si chce na zem nakresliť škôlku. Škôlka sa skladá z postupnosti jednotlivých štvorčekov alebo dvojíc štvorčekov, s hranou dĺžky 1 \, \text{dm}. Tie sú za sebou nakreslené tak, že sa dotýkajú hranami. Môže to vyzerať napríklad takto:

Nakoniec si teda Anka jednu takúto škôlku nakreslila. Dohromady musela nakresliť čiary dĺžky 26 \, \text{dm} (ak sa dva štvorčeky dotýkajú hranami, tú časť stačí nakresliť iba raz). Ako mohla jej škôlka vyzerať? Nájdite všetky možnosti.

Poznámka: Napríklad škôlka na obrázku je vytvorená z čiar, ktoré majú dokopy dĺžku 22 \, \text{dm}.
Náš druhý neúspešný súťažiaci, Chlochlochlo, prehru nezniesol až tak dobre ako Anka. V prastarých legendách sa hovorí, že jeho mrmlanie bolo potom také neskutočne mrzuté, že ho počuť naprieč celým časopriestorom v podobe toho, čomu sa hovorí “mikrovlnné kozmické pozadie”. Napriek tomu ďalší príklad nie je o mikrovlnkách, ale o budíku. Budík je aj tak v podstate len taká mikrovlnka, len nič nezohrieva. Chlochlochlo sa teda rozhodol svoje životné problémy riešiť spánkom a nastavením budíka na nedohľadno.

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Chlochlochlo zadáva počet sekúnd, ktoré chce prespať, do svojho budíka. Zadáva ho pomocou desiatich tlačítok s ciframi. Tlačítko s nulou je na spodku a zvyšných deväť je v mriežke, kde sú riadky aj stĺpce očíslované tak ako na obrázku:

Číslo, ktoré Chlochlochlo zadáva, je strašne obrovské a preto Chlochlochlo chce, aby aspoň nemalo tak veľa rôznych cifier. Preto vie ľubovoľné číslo po čísliciach zakódovať nasledovným spôsobom:

Koľko existuje štvorciferných čísel takých, že po ich zakódovaní sa nezmení ani ich ciferný súčet, ani ich ciferný súčin?

Poznámka: Napríklad 4 sa zmení na 21, 3 sa zmení na 13 a číslo 5760 by zakódovalo na 2231230.

Ale teraz už je najvyšší čas pozrieť sa naspäť do kuchyne, pretože na rade je už náš druhý a posledný súťažiaci Jerguš Kuchár!

Aký dezert budeš variť, Jerguš?
“Porotcov ohúrim lahodnou delikatesou - ovocným pudingom.”
Keď povieš ‘lahodná delikatesa’, puding rozhodne nie je prvá vec, čo mi napadne.
“To nie je môj problém, že máš príliš jednoduché chuťové poháriky. Našťastie jedlo nehodnotíš ty, ale naši skvelí porotcovia.”
“Počkaj, kde sú tu práškové pudingy? Nikde ich neviem nájsť. Idem sa spýtať všemocnej kuchárskej knihy.”

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Na to, aby Jergušovi kuchárska kniha odpovedala, musí najskôr zodpovedať otázku, ktorú mu položila. Pre celé číslo n a nepárne číslo m si označme násobok m najbližší k číslu n označením (n)_m. O celých číslach x a y platia tieto rovnice:

\displaystyle (4x)_5 + 7y = 15 \\ (2y)_5 - (3y)_7 = 74

Vypočítajte hodnotu x a y.
“To si zo mňa snáď robíš srandu. Nielenže miniem polovicu súťažného času riešením nejakých hlúpych rovníc, ale odpoveď na moju otázku je iba ‘v tej poličke, do ktorej si sa už trikrát pozrel’? To som tie pudingy radšej mohol hľadať sám.”
Voláš sa predsa Jerguš Kuchár, nie Jerguš Matematik!
“Nesmej sa na mne a na mojom dokonalom priezvisku. Stavím sa, že si taký trápny, že si ani každý týždeň nemeníš krstné meno a nemažeš všetkým ostatným spomienky na to predchádzajúce… Teda, samozrejme, že nie, neviem ako mi to napadlo. Ja to určite tiež nerobím.”
Nerozumiem, čo tým myslíš.
“To je dobre. Radšej sa idem rozhodnúť, ako budem pudingy servírovať.”

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Jerguš bude servírovať pudingy m \geq 5 porotcom, ktorí sedia okolo kruhového stola. Má na výber šesť rôznych príchutí pudingu a chce ich naservírovať tak, aby v žiadnej skupine piatich susedných porotcov nemali dvaja rovnakú príchuť pudingu. Pre aké počty porotcov to tak vie urobiť? Nezabudnite aj poriadne zdôvodniť, prečo to pre ostatné počty nepôjde.
“Keď už mám príchute pudingu vybraté, musím ho ešte uvariť.”
Už vidím, ako ho pripáliš.
“Ja a pripáliť puding? Vieš predsa, že…”
Že sa voláš Jerguš Kuchár? Áno viem. Už s tým prestaň, tvoje priezvisko nezaručuje, že vieš variť.
“Dobre, dobre. Na varenie pudingu treba využiť špeciálne hrnce.”

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Hrniec na puding vyzerá ako trojuholník ABC. Označme I stred jeho vpísanej kružnice a D, E, F postupne jej body dotyku so stranami BC, AC, AB. Priamka p nech prechádza bodom B a je rovnobežná s úsečkou DE. Priesečník priamok \overleftrightarrow{\rm AC} a p označme G. Ak poznáte uhol \measuredangle ABC, určte uhol \measuredangle CGI.
“Tak a to je všetko.”
To ho necháš takto? Ani ho neozdobíš?
“Načo by som ho zdobil? Veď je na jedenie.”
Aby vyzeral pekne, predsa. Na to je zdobenie. A keď jedlo vyzerá dobre, aj ti lepšie chutí.
“Tak teda dobre. Ozdobím ho piškótami. Ale musím si dať pozor, nech je rovnomerne ozdobený.”

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Puding vyzerá ako mriežka n \times n, kde n je nepárne. Ideme ho zdobiť piškótami. Najskôr do ľavého horného rohu dáme jednu piškótu. Potom budeme pokračovať opakovaním nasledovných krokov:
  1. Posunieme sa o dve políčka doprava, a o jedno políčko dole. Ak by sme mali vyjsť z okraja mriežky, znova do nej vojdeme na opačnej strane.
  2. Ak stojíme na políčku, na ktorom už sú nejaké piškóty, posunieme sa ešte raz, ale tentokrát o dve políčka doľava a o jedno políčko dole.
  3. Nakoniec na políčko, na ktorom stojíme, položíme o jedna viac piškóty, ako sme dali naposledy.

Takýmto spôsobom celú mriežku zaplníme všetkými počtami piškót od 1 do n^2. Dokážte, že keď skončíte, počet piškót v každom riadku a stĺpci bude rovnaký.

Na obrázkoch môžete vidieť, ako v mriežke 3 \times 3 vyplníme prvé tri políčka a ako vyplníme to štvrté.

Poznámka/dovysvetlenie: Ak v prvom kroku urobíme krok doprava von z mriežky, posunieme sa na prvé políčko z ľava v danom riadku. Podobne sa presunieme navrch pri kroku von z tabuľky smerom dole.
A nakoniec tá časť, na ktorú všetci čakajú: hodnotenie. Porotcovia ochutnali, teraz je čas na výsledok. Najskôr by však porotcovia chceli niečo povedať k obom dezertom, v rovnakom poradí ako sme ich súťažiacich videli variť, aby to neprezradilo nič o finálnom poradí.
“Áno, ďakujem. Najskôr sme ochutnali Šálkove Šálkové brownies. Všetci sme sa zhodli, že chutili výborne.”
A čo Jergušov Puding?
“Bol to puding, čo mám k tomu viac povedať. Na počudovanie všetkých nebol pripálený.”
Ďakujeme teda súťažiacim, výhercom našej súťaže Variešky sa stáva… Šálka! Srdečne gratulujem. Stávaš sa výhercom slušnej sumy peňazí… Koľko to vlastne bolo? Malo to tuším niečo s ‘trojkovými číslami’.

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Trojkové číslo je také, ktoré je deliteľné tromi alebo obsahuje cifru 3. Vyjadrite počet trojkových čísel od 1 po 10^n v závislosti od n (vyjadrite výrazom iba za použitia n a základných aritmetických operácii vrátane mocnín).
Tak teda s radosťou gratulujeme Šálkovi a dúfame, že cenu minie na niečo lepšie ako Jergušovo varenie. Aj keď to vlastne nebude také ťažké. Každopádne dúfame, že vám, divákom, jedlo chutilo! Presnejšie povedané, čítanie o jedle. Máte chuť na dezert? Dovoľte nám povedať vám zopár slov od našich sponzorov! Predstavujeme vám Austrálske gumové žížalky! Sú úplne ako normálne gumové žížalky, až na to, že sú mnohonásobne dlhšie!

Prémia 1

Kategórie:
5
6
7
8
9
Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.

Nakreslite do tabuľky 16 \times 16 gumovú žížalku prechádzajúcu čo najviac políčkami tak, že najprv prejde tri políčka rovno, potom zabočí o 90 stupňov, prejde dve rovno, zabočí o 90 stupňov, prejde jedno rovno, zabočí o 90 stupňov a potom znova opakuje od začiatku. Nesmie pri tom žiadne políčko navštíviť viac ako raz.

Príklad: Na obrázku sme nakreslili podľa rovnakých pravidiel do tabuľky žížalku do tabuľky 5 \times 6. Prechádza 13 políčkami.