Odporúčaný článok

Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok

×

3. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7

Zadanie

Šálka má špeciálne tlačidlo na kalkulačke, ktoré môže stlačiť po zadaní čísla. Vtedy kalkulačka zadané číslo najprv zväčší o štyri, potom výsledok vydelí štyrmi, od toho odčíta štyri a nakoniec to celé ešte štyrmi vynásobí. Výsledné číslo zobrazí na displeji. Šálka do kalkulačky zadal číslo, ktoré si aj poznačil na papier. Potom stlačil špeciálne tlačidlo, a zapísal si výsledok. Nové napísané číslo zadal do kalkulačky, stlačil tlačidlo a výsledok si opäť zapísal. Napokon zadal do kalkulačky aj toto číslo a zapísal si na papier výsledok, ktorý dostal po stlačení špeciálneho tlačidla. Potom zistil, že súčet štyroch čísel zapísaných na papieri je 80. Ktoré čísla a v akom poradí si Šálka zapísal na papier?

Vzorové riešenie

Opravovali: Oliver, havos

Najprv potrebujeme zistiť, čo presne to Šálkovo tlačidlo s ľubovoľným číslom urobí. Operácie, ktoré kalkulačka robí, môžeme napísať aj ako výraz: ((n+4):4-4)\cdot4, kde n je ľubovoľné číslo, ktoré Šálka zadá do kalkulačky. Tento výraz nám, ale nič moc nepovie, takže ho musíme ešte upraviť:
((n+4):4-4)\cdot4=(\frac{n}{4}+\frac{4}{4}-4)\cdot4=(\frac{n}{4}+1-4)\cdot4=(\frac{n}{4}-3)\cdot4=n-12
Po upravení si môžeme všimnúť, že tlačidlo na Šálkovej kalkulačke zadané číslo zmenší o 12.

Keďže vieme, že zapísané čísla boli výsledky opakovaného stláčania tohoto tlačidla. Ak teda prvé číslo, ktoré zadal do kalkulačky je a, tak kalkulačka vypísala číslo a-12. Toto číslo po ďalšom slačení kalkulačka zmení na a-24. Potom, čo tlačidlo stlačíme tretí krát, kalkulačka číslo opäť zmenší o dvanásť, teda posledný výsledok bude a-36.

Zo zadanie vieme, že súčet všetkých štyroch čísel, ktoré si Šálka napísal je 80. Keďže sme si tieto štyri čísla už vyjadrili od pôvodného, môžeme tento vzťah zapísať pomocou rovnice: a+(a-12)+(a-24)+(a-36)=80.

Túto rovnicu si následne upravíme:

a+a-12+a-24+a-36=80
4a-72=80
4a=152
a=38

Takže číslo, ktoré si Šálka zapísal na papier ako prvé bolo 38. Ostatné čísla máme vyjadrené pomocou výrazov a-12, a-24 a a-36. Keď si do týchto výrazov dosadíme a=38, dostaneme zvyšné tri čísla − konkrétne 26, 14 a 2.

Odpoveď: Šálka si na papier napísal čísla 38,\, 26,\,14, \,2 v tomto poradí.

Komentár

Väčšina z vás výborne zvládla popísať obe časti riešenia − aj to, prečo kalkulačka znižuje číslo o 12, aj to, ako z toho vyplýva riešenie. Pri ostatných bol najväčší zádrheľ asi na dôkaze toho, čo tlačidlo na kalkulačke robí. Keďže tlačidlo vykonáva niekoľko operácií za sebou, nie je úplne triviálne, čo robí, a teda to treba poriadne vysvetliť prečo a ako sa na to dá dojsť.