Zadania 1. kola

Koniec: 07. marec 2022 22:00
Do konca: kolo skončilo
Kde bolo tam bolo, za siedmimi dolami a horami bolo raz jedno kráľovstvo. Teda, vlastne nie úplne za siedmimi horami a dolami, lebo to bolo na ostrove a nie úplne kráľovstvo, lebo to bola vlastne konštitučná monarchia. Ale to až neskôr. Úplne strašne dávno to bol len pustý ostrov, na ktorom prebývala hrozivá dračica Uršica, ktorá na ostrov nechcela nikoho pustiť. Ľuďom na pevnine to bolo ľúto, lebo to bol naozaj prekrásny ostrov. Tak sa jedného dňa rozhodli, že z ostrova dračicu vyženú. Vyzeralo to asi takto:

1. príklad

Kategórie:
5
Každý deň ľudia posielajú na 142 námorných míľ vzdialený ostrov tri lode, ktoré sa pomaly plavia smerom k ostrovu. Každá loď sa každé ráno preplaví jednu námornú míľu smerom ku ostrovu (lode prejdú aj prvý deň plavby jednu námornú míľu). Dračica je ako všetky draky teritoriálna a ostrova sa nevzdá tak ľahko. Každý večer vysiela ohnivú guľu k jednej z lodí, čím ju potopí. Akonáhle sa čo i len jedna loď dostane k brehu, tak môžeme povedať, že sa úspešne preplavila. Koľko najviac dní dokáže dračica takto vzdorovať, kým sa jedna z lodí priplaví až k brehu ostrova?
Dračica Uršica sa tak nakoniec musela stiahnuť, odletela, nevedno kam. Po tejto náramnej bitke začal na ostrove prekvitať život, prinášali ho novoprisťahovaní ľudia. Ľud si demokratickým hlasovaním zvolili za svojho vládcu šikovného a spravodlivého Danka, ktorý si svojou udatnosťou v boji proti dračici získal srdcia ľudu. Danko bol najviac pyšný na svoje dva najvzácnejšie poklady - svojho jediného syna, princa Mimriška, a svoj obrovský palác, okrasu ostrova, v ktorom so svojou rodinou býval. Deň sa stretal s dňom, týždeň s týždňom a každému sa žilo dobre. Až dosiaľ… Všetko sa začalo tým, že jedného krásneho rána sa sluha Molmir rozhodol, že princa Mimriška poteší a spraví mu na raňajky do postele vychýrené Ľakčianske mrkvové pagáče. Molmir sa však stratil a nevedel nájsť komnatu, kde Mimriško býva.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (2)

  • michaels
    06. marec 2022 23:07

    Prosím vás, a tá dračica vždy zasiahne loď, ktorá je k nej najbližšie, alebo strieľa ako sa jej chce a môže teoreticky zasiahnuť aj lode, ktoré nie sú v prvej línii?

  • Danko Vedúci
    06. marec 2022 23:16

    Ahoj,
    v príklade síce nie je povedané, na ktoré lode dračica strieľa, no otázka sa pýta na prípad, kedy vie vzdorovať najdlhšie. Preto treba uvažovať také strieľanie lodí, ktoré jej to zaručí.

    Danko

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

2. príklad

Kategórie:
5
6

V kráľovskom paláci bolo vedľa seba 2022 komnát na jednej chodbe. Každá komnata mala vlastné dvere, na ktorých bolo vygravírované číslo. Každé štyri po sebe idúce dvere mali súčet svojich čísel 25. Palác bol ale starý a o nič mladšie neboli ani dvere, takže sa niektoré čísla komnát časom ošúchali, a iba na troch najmenej používaných komnatách sú doteraz viditeľné. Na obrázku vidíme prvé štyri a posledné štyri dvere. Aké číslo mali dvere komnaty princa Mimriška, ktorá bola úplne na konci chodby?

Ako mu ich niesol po dlhokánskej chodbe, pískal si, lebo bolo pekne. Úsmev mu zamrzol na tvári, keď uvidel výjav v Mimriškovej izbe. Princ Mimriško totiž rád pozoroval nočnú oblohu cez svoje veľké okno, avšak teraz z okna kus chýbal. A Mimriška nikde!
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (4)

  • MatejStupka
    28. február 2022 09:20

    dobry den chcem sa spytat ci mozu mat dve dvere rovnake cislo
    Dakujem

  • mišo Vedúci
    28. február 2022 14:47

    Ahoj,
    rôzne dvere môžu mať aj rovnaké čísla.

    Mišo

  • MatejStupka
    01. marec 2022 08:51

    dobry den chcem sa este spytat dve otazky:
    1. 4 dvere po sebe idúce majú súčet cifier 25 znamená ze styri dvere majú sucet 25 alebo kazde zo styroch dvery ma sucet 25?
    2. A aj na tych dverach kde vidime cislo mozu byt osuchane cisla? napr ze na dverach s cislom 9 by bola este osuchana 1tka ktoru nevidime a boli by to vlastmne dvere 19?
    Dakujem

  • Danko Vedúci
    01. marec 2022 11:48

    Ahoj,
    v zadaní sa píše: "KAŽDÉ štyri po sebe idúce dvere mali súčet svojich čísel 25.", čo odpovedá na tvoju prvú otázku. Tiež by som chcel upozorniť na to, že je to súčet čísel, nie cifier.
    Čo sa týka druhej otázky, nemôže sa to stať. Na troch zadaných dverách je čísla vidno, čím sa prirodzene myslia všetky cifry na týchto dverách.

    Danko

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

3. príklad

Kategórie:
5
6
7
Mimriškovo okno malo tvar obdĺžnika ktorý sa skladá z menších sklenených tabúľ, ako je nakreslené na obrázku. Všetky tieto tabule majú tvar štvorca, a najmenšia z nich (biela) chýba. Aký je obsah celého okna, ak vieme že chýbajúca tabuľa má strany dĺžky 1 \, \text{dm}?
Sluha Molmir spanikáril. Také nešťastie! Princa niekto uniesol! Pustil závideniahodné raňajky na zem, rýchlo zalarmoval všetky stráže v paláci. O chvíľu už bol celý ostrov pod zámkom, drony monitorovali vzdušný priestor, nikto nesmel odísť. „Únosca nesmie ujsť!”, kričal. Strážna čata sa obetavo podujala princa hľadať.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (2)

  • bazdu
    19. február 2022 19:42

    Chcete vedieť presné číslo alebo to stačí povedať všeobecne?

  • Danko Vedúci
    19. február 2022 20:27

    Ahoj,

    na konci tvojho riešenia by mal byť aj číselný výsledok, alebo prípadne dôvod prečo ho nie je možné zo zadania zistiť.

    Danko

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
Zvolali všetkých ľudí, čo sa zdržiavali na zámku a zozbierali od nich výpovede. Každý z nich bol v čase únosu na jednej z 5 lokácií - na nádvorí, na hradbách, v kuchyni, vo svojej posteli, alebo v komnatách. 30 z nich nebolo na nádvorí, 26 nebolo na hradbách, 21 nebolo v kuchyni a 15 nebolo vo svojej posteli. Koľko ľudí bolo kde v osudný večer?
„Čóóó? Ale toto nevychádza!” povedal kráľ Danko, „Určite niekto vo svojej odpovedi klamal! Ale ako zistiť kto?” Keď sa už zdalo, že všetko je stratené, prišiel s nápadom kráľovský alchymista Merlin. „Dajme celému ostrovu napiť veritasera, elixíru pravdy. Keď sa ho niekto napije, tak ako jeho názov napovedá, dokáže hovoriť iba pravdu. Tak ľahko zistíme, kto Mimriška uniesol!” „Múdry nápad,” zhodnotil kráľ Danko a zadovážil Merlinovi prísady. Merlin potom do svojho kotla pripomínajúceho umývadlo niekoľko hodín sypal obsahy rôznych vrecúšok, olejčeky a koreniny a miešal, až kým nebol vzácny elixír hotový. Bol tu však problém. Nebolo ho dosť. Našťastie mal však elixír jednu zázračnú vlastnosť.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Máme dve 30 \, \text{ml} fľaše, v ktorých sa vždy objem elixíru pravdy (veritaserum) zaokrúhľuje:
  1. V prvej fľaši na najbližší menší alebo rovný násobok 2 \, \text{ml}.
  2. V druhej fľaši na najbližší násobok 3 \, \text{ml}.
Prvá (ktorá zaokrúhľuje na 2 \, \text{ml}) je plná elixíru, a druhá je prázdna. My môžeme preliať ľubovoľný celý počet ml z jednej fľaše do druhej koľkokrát chceme, a vždy sa v nich hneď ako prelievanie dokončíme objem zaokrúli podľa pravidiel. Koľko najviac ml elixíru vieme mať dokopy vo fľašiach a ako by sme mali prelievať, aby sme to dosiahli iba prelievaním medzi dvoma fľašami, ktoré máme k dispozícií? Nezabudnite ukázať, že viac elixíru vo fľašiach určite nemôže byť.
Použitím tohto triku mali elixíru koľko len chceli. A v tom dostal kapitán čestnej stráže palácu Prútik brilantný nápad. „Dajme z elixíru napiť celému ostrovu!” zvolal. „Únosca predsa už mohol ujsť zo zámku, ale pokiaľ viem, žiadna loď z ostrova nevyplávala. Dajme napiť všetkým obyvateľom na ostrove a určite únoscu nájdeme,” navrhol pyšne. „Bravo!” súhlasili všetci. Taký úkon si však bude vyžadovať veľa práce, zvolať všetkých ľudí na ostrove je predsa fuška. Našťastie väčšina ľudí žije v hlavnom meste, a tak do ulíc mesta vyslali trubadúra Šoša s jeho čatou, nech ľudí organizovane zvolajú.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (2)

  • MatejStupka
    05. marec 2022 17:14

    Dobry den chcem sa spytat ci to mam riesit tak ,ze: najdem vsetky moznosti a potom vyberiem tu najvacsiu z nich alebo hladam maximalnu hodnotu objemu ked prelejem z jednej flasky do druhej a pokracujem s tymi hodnotami co potom mam a takto idem kym nenajdem najvacsi vysledok
    dakujem

  • mišo Vedúci
    06. marec 2022 23:30

    Ahoj,
    v zadaní nás zaujíma, aké najväčšie množstvo elixíru vieme prelievaním dostať, a ako konkrétne toto množstvo dostaneme. Postup, ktorým budeš riešiť, je na tebe. Mal by však obsahovať nejaké zdôvodnenie, prečo väčšie množstvo nijakým spôsobom nedostaneme.

    Mišo

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Ulice v meste sú usporiadané do nekonečnej štvorcovej mriežky, z ktorej časť vidíme na obrázku (mriežka rovnako pokračuje aj ďalej do všetkých smerov). Šošo a jeho čata si naplánovali trasu, ktorá sa skladala z 9 presunov. Pri každom presune si vybrali nejakú svetovú stranu a v tom smere sa posunuli na najbližšiu križovatku. Keď však túto trasu prešli, stále nezvolali dosť ľudí, takže takých istých 9 presunov zopakovali ešte niekoľkokrát. Výprava začínala v bode A (súradnice [0; 0]). Po 15 presunoch sa nachádzali v bode B (= [3; 2]), po ďalších 7 presunoch sa nachádzali v bode C (= [5; 3]) a po ďalších 8 presunoch v bode D (= [6; 6]). Počas celej výpravy nikdy neprešli po tom istom úseku (medzi dvomi susednými križovatkami) dvakrát.
  1. Zistite, kde sa nachádzali po 27 presunoch.
  2. Zistite z akých deviatich presunov sa skladala ich pôvodná trasa.
Keď už boli ľudia zvolaní, dávali im postupne piť z elixíru pravdy a pýtali sa ich na zmiznutie princa Mimriška. Veľa ľudí však bolo ten večer spolu, takže aj keby náhodou na nich elixír pravdy nezaúčinkoval ako mal, vždy si vedeli potvrdiť alibi. Len ich trebalo správne dať do dvojíc.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (2)

  • SaterS
    01. marec 2022 15:17

    Dobrý deň,
    môžem sa spýtať, či sa za rovnaký úsek ráta aj rovnaká križovatka?
    Vopred ďakujem za odpoveď.

  • Danko Vedúci
    02. marec 2022 11:04

    Ahoj,
    za úsek sa ráta cesta medzi dvoma susednými križovatkami, preto cez jednu križovatku môže prejsť aj viac krát. Zadanie sme upravili tak, aby to bolo jednoznačné.

    Danko

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Nájdite všetky nenulové dvojice celých čísel m a n, pre ktoré platí nasledujúca rovnica:
m+\frac1n=n+ \frac1m
Všetci už boli popárovaní, teda až na posledných dvoch ľudí - bratov Turbanovcov, Miša a Maťa. Tí sa na seba neisto pozerali, keď podišli ku kotlu. Mišo Turban neochotne pozeral, ako mu strážcovia nalievajú bublajúci elixír do hrnčeka. Zrazu v ňom akoby niečo prasklo. Hodil hrnček na zem a zreval „Bež!” A v mihnutí oka už obaja fujazdili kadeľahšie. Z prvotného šoku sa ako prvý spamätal Prútik. „Za nimi!” zreval na stráž, „tentokrát nám nesmú ujsť!” Prútik mal pravdu, nemohli ujsť, ale mohli potupiť členov stráže tým, že ich zbijú, čo bolo v tomto kráľovstve trápnejšie, ako čokoľvek iné. Stráž a bratia Turbanovci sa teda dohodli, že radšej budú zápasiť v posúvaní balvanu, na ostrove známej hre. Ak vyhrajú Turbanovci, stráž ich pustí, ak vyhrá stráž, Turbanovci sa bez odporu vzdajú.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Kráľ Danko mal na kráľovskom dvore vyrytú šachovnicu s 2021\times2021 políčkami. Na políčku presne v strede šachovnice sa nachádza obrovský kameň, ktorý najprv stráž posunie o jedno políčko (rovnobežne so stranami šachovnice). Bratia Turbanovci ho potom budú musieť posunúť o dve políčka nejakým smerom, stráž o štyri políčka, Turbanovci o osem políčok a takto vždy dva krát ďalej – teda v k-tom ťahu ho vždy budú musieť posunúť o 2^{k-1} políčok jedným smerom. Ten, kto je na ťahu, prehráva, ak už nemôže posunúť kameň. Nájdite víťaznú stratégiu (spôsob akým sa dá zaručene vyhrať, bez ohľadu na to ako bude hrať súper) pre bratov Turbanovcov alebo pre stráž.
Sluha Molmir túto bitku ticho sledoval. Nebol si istý, kto má výhernú stratégiu, a tak sa rozhodol, že Turbanovcom nastraží pasť, neuniknú hádam predsa! Bum! Bác! Bratia sa rozpleštili na zemi, keď sa potkli o Molmirovu podloženú nohu. Kameň sa prestal hýbať. „Hurá, porazili sme ich!” radovala sa stráž, zatiaľ čo nútila odporcov piť elixír pravdy. „Kde je Mimriško?” „Nevieme!” zahanbene vraví Maťo, „videli sme iba, kto ho uniesol. Bola to dračica Uršica! Vedela, že sme ju videli, a museli sme sľúbiť, že nič nepovieme.” „To je strašné! A je to pravda, vypili predsa nápoj,” zahromžil sklesnuto Danko, „musíme vyslať záchrannú výpravu!” „Ale kam? Nevieme, kam dračica princa odvliekla.” namietol Prútik. „Našťastie máme mapu celého známeho sveta, tam už niečo nájdeme,” povedal Danko a rozkázal tichému a chytrému mapárovi Balvimu, aby šiel pre mapu.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (2)

  • OliverKusnir
    10. február 2022 19:13

    mám otázku či sa môže meniť smer počas posúvania kameňom

  • Danko Vedúci
    13. február 2022 13:47

    Ahoj,
    v každom ťahu musia hráči posúvať kameň o daný počet políčok iba jedným smerom.

    Danko

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Mapa celého známeho sveta bola obrovská a vyzerala ako konvexný päťuholník ABCDE, pričom platí, že trojuholníky ABC, BCD, CDE a DEA majú rovnaký obsah. Označme M priesečník AC s BE a N priesečník AD s BE. Dokážte, že |BM|=|NE|.
„Mapu máme, ale čo s ňou? Hmmm, musíme trocha porozmýšľať. Taká dračica sa nemôže usadiť hocikde,” hútal Danko, „ako domov musí mať veľmi špecifické okolie. Nejaké hory s jaskyňou alebo ostrov, musí mať nejaký zdroj potravy alebo také niečo.” „Ale to bude trvať roky, preskúmať celú túto mapu!” povedal smutne Prútik, „Nemáme šancu nájsť všetky miesta.” „Môžem nejako pomôcť?” ticho sa ozval obďaleč postávajúci Balvi, „lebo tento problém sa mi zdá pomerne jednoduchý na vyriešenie. Mapa nie je totiž úplne náhodná, predsa len fyzikálne zákony pri formovaní terénu platili.”
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Mapa je zapísaná ako postupnosť čísel, pričom prvé 4 čísla sú 1, 2, 3 a 4 v tomto poradí. Každé ďalšie číslo je cifra na mieste jednotiek súčtu predošlých 4 čísel. Napríklad piate číslo v poradí bude 0, lebo 1 + 2 + 3 + 4 = 10 a tá má na mieste jednotiek 0. A tak ďalej. Hrdinovia však potrebujú vedieť, či sa v postupnosti niekde nachádzajú za sebou čísla 2, 3, 5, 7, a či sa čísla 1, 2, 3, 4 nachádzajú za sebou aj niekde inde ako na začiatku postupnosti. Zistite odpovede na tieto otázky.
„Fíha, to vychádza,” zaradoval sa Danko, „Balvi, ty si génius! Vieme, kde je Mimriško!” „Byť géniom je mojím povolaním, pane. Niet zač. Už idem, netreba ma tu.” zareagoval Balvi a išiel sa znova vŕtať v knihách. „Musíme zorganizovať záchrannú výpravu, bude to však extrémne náročná úloha, premôcť dračicu.” hútal zatiaľ Prútik. „Neboj, vyberieme iba tých najlepších. Molmir, priprav tú hádanku, ktorú sme pred pár rokmi vytvorili. Kto pôjde za dračicou, musí byť nielen chytrý, ale aj silný. Sprav ju z kameňov.”
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Prémia 1

Kategórie:
5
6
7
8
9
Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.
Umiestnite kamene s čo najväčším súčtom do nekonečnej štvorcovej mriežky kráľa Danka tak, že najprv na ľubovoľné miesta položíte dva kamene s číslom jedna, a potom pridávate v každom kroku väčší kameň, a to na také miesto že súčet jeho ôsmich susedov bude v momente položenia rovný jeho číslu. Najväčšie číslo, ktoré môžete pridať je 60, niektoré môžete preskočiť, k preskočeným sa však nedá vrátiť.
Nie každému voňala predstava dobrodružstva a neznámych nebezpečenstiev, ktoré na záchrannú družinu budú iste číhať na ceste za Uršicou a Mimriškom. Avšak mnoho ľudí okúsilo Dankovu úlohu, Mimriško bol predsa len obľúbený. A po pár dňoch… „Gratulujem všetkým zúčastneným!” začal slávnostné vyhlásenie členov výpravy kráľ Danko, „spomedzi chrabrých účastníkov mali najlepšie výsledky…” napätie v obecenstve sa dalo krájať, „Lukostrelkyňa a kapitánka špeciálnej jednotky Vella!” „Fíha, to začína dobre,” pošepkal Prútik. „Poľný medik a stand-up komik Andy Dušan!” „Toho poznám, ten je super!” zašumelo v dave. „A posledný člen výpravy je… dvorný šašo a reper Majty P.? Fíha! Zdá sa, že aj on je kvalifikovaný na výpravu! Ďakujem všetkým záujemcom a ďakujem najmä trom hrdinom, ktorí sa odhodlali Mimriška zachrániť! Budeme im priať veľa šťastia.”
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa