4. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:

Zadanie

Zvolali všetkých ľudí, čo sa zdržiavali na zámku a zozbierali od nich výpovede. Každý z nich bol v čase únosu na jednej z 5 lokácií - na nádvorí, na hradbách, v kuchyni, vo svojej posteli, alebo v komnatách. 30 z nich nebolo na nádvorí, 26 nebolo na hradbách, 21 nebolo v kuchyni a 15 nebolo vo svojej posteli. Koľko ľudí bolo kde v osudný večer?

Vzorové riešenie

Opravovali: Red, stepi

Mimo nádvoria je 30 ľudí. Mimo hradieb je iba 26 ľudí, čiže na hradbách ich musí byť o 4 viac ako na nádvorí (keďže spolu je ich stále rovnako veľa). Podobne v kuchyni musí byť o 9 viac ľudí ako na nádvorí a v posteli o 15. Označme si teda počet ľudí na nádvorí N. Z toho si vieme vyjadriť aj všetky ostatné počty okrem počtu v komnatách. O ňom zatiaľ nevieme nič, takže si ho označme ako K.

Vieme, že napríklad mimo nádvoria je 30 ľudí, ale to je zároveň súčet ľudí na všetkých ostatných miestach. Platí teda:

\displaystyle N + 4 + N + 9 + N + 15 + K = 30 \\ 3N + 28 + K = 30 \\ 3N + K = 2

Ak by N bolo viac ako 0, tak by pravá strana bola príliš veľká, zostáva nám teda len jediná možnosť N = 0. Z poslednej rovnice potom vidíme, že K = 2, a ostatné počty dopočítame podľa prvého odseku.

Odpoveď: Na nádvorí nebol nikto, na hradbách 4 ľudia, v kuchyni 9, v posteli 15 a v komnatách 2.

Iné riešenie

Zišlo by sa nám vedieť, koľko je spolu všetkých ľudí, lebo potom by sme z toho vedeli povedať aj počty na jednotlivých miestach. Označme si teda celkový počet ľudí S. Potom vieme, že na nádvorí bolo S - 30 ľudí, na hradbách S - 26, v kuchyni S - 21 a v posteli S - 15. O počte ľudí v komnatách nám to tiež nič nehovorí, takže ten zatiaľ nechajme ako K.

Tým sme si vyjadrili počty na jednotlivých miestach. Povedali sme si, že ich súčet je S, ale ten si vieme rozpísať aj ako súčet jednotlivých miest. Musí teda platiť:

\displaystyle S - 30 + S - 26 + S - 21 + S - 15 + K = S \\ 4S - 92 + K = S \\ 3S + K = 92

Z toho vidíme, že S môže byť najviac 30, inak by ľavá strana bola príliš veľká. Zároveň ale platí, že S musí byť aspoň 30, lebo už len mimo nádvoria je 30 ľudí. Spolu teda musí byť práve 30 ľudí a z toho už ľahko dopočítame jednotlivé počty.