Zadania 2. kola

Koniec: 05. apríl 2021 22:00
Do konca: kolo skončilo
Pred nejakým časom u seba doma sedelo malé dievčatko a hralo sa so svojou obľúbenou hračkou - drevenými kockami:

1. príklad

Kategórie:
5
Dievčatko postavilo z rovnakých malých kociek jednu veľkú kocku. Spočítalo, že 168 z nich sa dotýkalo stenou práve štyroch iných kociek. Z koľkých malých kociek sa skladala veľká kocka?
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Dievčatko nemalo žiadne iné hračky, ale to mu nevadilo, pretože malo veľkú fantáziu a vedelo z rovnakých kociek spraviť veľmi veľa rôznych vecí. Hneď rozobralo veľkú kocku a radšej postavilo z kociek sedem veží, ktoré mu pripomínali hrad, ktorý každý deň vídalo v diaľke. Už si aj predstavovalo, ako by vyzeral zvnútra.

2. príklad

Kategórie:
5
6
Dievčatko nakreslilo pôdorys hradu, ktorý vyzeral ako mriežka na obrázku. Jednotlivé políčka (časti hradu) si chcela očíslovať od 1 do 7 podľa toho, kde je koľko komnát. Stredné políčko musí mať 4 a zvyšných šesť políčok musí obsahovať v nejakom poradí 1, 2, 3, 5, 6 a 7 komnát tak, aby počet komnát v ľavom stĺpci (červená), počet komnát v pravom stĺpci (žltá), počet komnát v jednej diagonále (oranžová) a počet komnát v druhej diagonále (zelená) boli štyri rovnaké čísla. Aké sú všetky možné súčiny troch čísel v prostrednom riadku (modrá), ktoré takto vieme dosiahnuť?
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Dievčatku sa hrad veľmi páčil. Raz by chcelo tiež bývať na vrchu nejakého hradu. Počulo, že tak bývajú princezné. Veľmi rado by sa raz stalo princeznou, aby mohlo tiež bývať na vrchu hradu. Počulo ale o väčšine princezien, že sú hlúpe, a bálo sa, že by sa to mohlo stať aj jemu. Malo teóriu, že výška hradu znamená, že na jeho vrchu je menej kyslíku, a preto mozgové bunky princezien, ktoré tak bývajú, postupne odumierajú. Ako tomu zabrániť? Mohlo by riešiť rôzne logické úlohy a trénovať si myseľ, napríklad takúto:

3. príklad

Kategórie:
5
6
7
Do tabuľky 3\times 3 chceme doplniť deväť rôznych prirodzených čísel tak, aby súčet čísel v ľubovoľnom riadku alebo stĺpci bol násobkom 11. Aký najnižší môže byť súčet všetkých deviatich čísel? Nájdite tabuľku, ktorá taký súčet dosahuje.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (4)

  • Viki
    14. marec 2021 10:13

    Dobrý deň, ráta sa nula ako prirodzené číslo?
    Vopred ďakujem

  • mišo Vedúci
    14. marec 2021 22:28

    Ahoj,
    nulu v tomto príklade nepovažujeme za prirodzené číslo.

    Mišo

  • michaels
    28. marec 2021 22:40

    Dobry den, pokial najnizsi sucet sa da dosiahnut viacerymi tabulkami, je potrebne ich najst uplne vsetky? Lebo pytate sa, najdite TABULKU, ktora taky sucet obsahuje. Srdecne dakujem.

  • mišo Vedúci
    30. marec 2021 14:11

    Ahoj,
    v tomto príklade stačí nájsť len jednu tabuľku. To preto, aby sme videli, že ten najmenší súčet naozaj môže nastať.

    Mišo

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
V spomínanom hrade sa medzitým kráľovský ekonóm pán Peniažkový trápil nad kráľovským účtom. Čísla boli veľmi nízke a kráľovstvo bolo vo veľmi zlom stave, pretože všetky peniaze išli do rytierskeho priemyslu. Peniaze z účtu priam tiekli!

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
Ú, Č, E a T sú štyri rôzne číslice. Platí, že štvorciferné číslo \overline{TEČÚ} je štyrikrát vyššie ako štvorciferné číslo \overline{ÚČET}. Aké môžu tieto číslice byť? Nájdite všetky možnosti.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
“Pán Kráľ, obávam sa, že kráľovský rozpočet nie je vôbec stabilný. Rozumiem, že chceme trénovať rytierov, aby zachraňovali princezné, ale ste si istý, že je to najlepšie využitie peňazí?” opýtal sa ekonóm Kráľa. “Zachraňovať princezné je veľmi dôležité, pán Peniažkový! Pokiaľ ich nezachránime, ostanú nezachránené a nebezpečné príšery ich budú držať vo svojich spároch!” odpovedal mu pán Kráľ. “Ale ekonómia je v troskách, rozumiem, že treba princezné zachrániť, ale pokiaľ skolabuje, tak bude treba zachraňovať všetkých.” “Žiaden strach, keď budeme strácať príliš veľa peňazí, proste presvedčíme ostatné kráľovstvá, aby sa s nami podelili o ich bohatstvo” navrhol Kráľ.

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Na Medzikráľovskej Gemologickej Konferencií boli gemológovia štyroch kráľovstiev. Každý z nich mal zbierku iného druhu drahokamu. Jeden mal 8 rubínov, ďalší 10 zafírov, tretí 100 perál a posledný 5 diamantov. Každý dal na konferencií po jednom drahokame zo svojej pôvodnej zbierky každému inému gemológovi. Po konferencií mal každý gemológ drahokamy s rovnakou celkovou hodnotou. Vieme, že všetky kusy rovnakého drahokamu majú rovnakú hodnotu. Čia zbierka bola na začiatku najhodnotnejšia? Koľko drahokamov by ostatní museli mať na začiatku (svojho pôvodného druhu), aby mali ich zbierky rovnakú hodnotu pred výmenou?
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (4)

  • Majko
    20. marec 2021 09:32

    Tým "koľko drahokamov by ostatní museli mať na začiatku" sa myslí koľko z toho ich typu, alebo?
    Ďakujem, Majko

  • mišo Vedúci
    20. marec 2021 16:29

    Ahoj,
    presne tak, ako píšeš, pýtame sa na počet toho drahokamov druhu, ktorý mali pred výmenou. Teda napríklad, koľko rubínov by musel mať gemológ s rubínami, aby mali dokopy požadovanú hodnotu.
    Zadanie sme doplnili.

    Mišo

  • SaterS
    21. marec 2021 21:38

    Dobrý deň,
    chcel by som sa opýtať, čo má byť odpoveďou na tú druhú otázku. Či to má byť postupnosť čísel, pre ktoré by to platilo alebo jedno jediné číslo alebo to má byť najmenej, keď sa neráta 0?
    Vopred ďakujem

  • mišo Vedúci
    22. marec 2021 15:35

    Ahoj,
    v prvej otázke sme sa pýtali na gemológa, ktorý mal na začiatku najhodnotnejšiu zbierku. V druhej otázke nás zaujímajú zvyšní traja gemológovia. Chceš teda nájsť tri čísla také, že tri zbierky tvorené týmito počtami drahokamov majú všetky rovnakú hodnotu ako zbierka, ktorá na začiatku patrila tomu štvrtému gemológovi.

    Mišo

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Pán Peniažkový sa snažil kráľovi oponovať: “Pane, so všetkou úctou, nemyslím si, že takto fungujú medzikráľovské...” Ale Kráľ ho ani nenechal dorozprávať. “Teraz musíte súrne objednať viac rytierskeho vybavenia. Je to nesmierne dôležité, a nikto iný si s tým výpočtom nevie dať rady. Ak sa vám to podarí, odmena vás určite neminie.” Nariadil mu a niekam odbehol, pravdepodobne riešiť ďalšie rytierske záležitosti. Pán Peniažkový si povzdychol a išiel vyriešiť tento problém.

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
A, B, C a X sú cifry. \overline{AB}, \overline{BA}, \overline{BC}, \overline{CB}, \overline{CA} a \overline{AC} označujú dvojciferné čísla tvorené danými ciframi. Všetci vypočítali, že \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} + X = 201. Pán Peniažkový si ale uvedomil, že to počítali nesprávne, keďže istý nemenovaný radca čítal rytiersky leták nesprávne. Okrem toho bolo treba objednať ešte 6 koní navyše. Aký je výsledok správneho výpočtu \overline{BA} + \overline{CB} + \overline{AC} + 7 \cdot X?
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (2)

  • Adel
    05. apríl 2021 17:41

    Môžu byť napr. A a B rovnaké cifry?

  • mišo Vedúci
    05. apríl 2021 20:35

    Ahoj,
    cifry v zadaní nemusia byť navzájom rôzne a teda, áno, môžu byť niektoré z nich rovnaké.

    Mišo

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Pán Peniažkový dokončil svoju prácu a išiel výsledok odprezentovať kráľovi. Kráľ bol z výsledku veľmi potešený, odľahlo mu, že jeho biznis je zachránený. Preto sa rozhodol, že pána Peniažkového vyplatí štedrou odmenou. Zaplatí mu toľko peňazí, koľko len za hodinu zvládne napísať:

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Kráľ zaplatí pánovi Peniažkovému ciferný súčin každého čísla, ktoré napíše. Pán Peniažkový je ale expert na matematiku a rozhodol sa, že na papier napíše každé štvorciferné prirodzené číslo práve raz. Koľko peňazí za to Kráľ pánovi Peniažkovému zaplatí?
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Po tom čo dopísal a Kráľ mu vyplatil sľúbené peniaze, utekal s nimi do pekárne. Kým tam ale prišiel, inflácia zapríčinila, že si za ne mohol kúpiť iba jednu tortu (aj keď bola celkom veľká). Potom sa už konečne mohol vrátiť domov. “Už som doma, Anka!” povedal, keď prišiel. “Ahoj otecko! Ako moc sa pokazila ekonómia dnes?” opýtala sa ho Anka. “Musím povedať, že dnes trochu menej ako predchádzajúce dni” odpovedal jej, “ale stále viac ako je zdravé. Musím povedať, že pokiaľ sa to nezlepší, tak sa bojím o tvoju budúcnosť, Anka” “Ale kdeže, netreba sa o nič báť. Už som to vymyslela” odpovedala mu Anka. “Vážne?” “Áno! Budem princezná a...” “Princezná? Nemôžeš byť len tak princezná, Anka. Potrebuješ certifikát, šľachtický pôvod a… ešte veľa vecí. Radšej sa presťahuj do nejakého rozumnejšieho kráľovstva, ktoré kupuje menej rytierov.”

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Na kružnici leží n kráľovstiev. Kráľovstvá sú v smere hodinových ručičiek očíslované číslami postupne od 1 až po n. Anka v žiadnom nie je spokojná a preto medzi nimi postupne cestuje. Začína v kráľovstve s číslom 1 a následne vykoná n-1 ciest. Pri každej ceste sa presunie v smere hodinových ručičiek o toľko kráľovstiev, aké číslo má kráľovstvo v ktorom sa práve nachádza. Keď dokončila všetkých n-1 ciest zistila, že v každom kráľovstve bola práve raz. Nájdite všetky možné hodnoty n, pre ktoré to mohlo nastať.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (2)

  • MartinP
    16. marec 2021 21:23

    Dobrý deň rád by som sa opýtal či očíslovanie kráľovstiev je postupné ako idú v smere hodinových ručičiek (1- 2 - 3 - 4 ...) alebo nemusia byť očíslované podľa poradia ( 1 - 4 - 3 - 2 ...)

  • mišo Vedúci
    17. marec 2021 13:08

    Ahoj,
    čísla majú byť v smere hodinových ručičiek usporiadané postupne od 1 po n, teda 1,\, 2,\, 3,\, \ldots,\, n. Zadanie sme doplnili.

    Mišo

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
“Ale to je aj tak ešte ďaleko v budúcnosti." Hovorí Anke pán Peniažkový. ” Teraz sa máš ešte hrať s kockami, nie trápiť sa nad budúcnosťou.” “Netrápim sa nad budúcnosťou, otecko, ako som už povedala, mám plán, len si ma nenechal dohovo...” “Áno Anka, rozumiem, teraz je ale čas na večeru. Podarilo sa mi kúpiť celkom veľkú tortu, čo je dnes veľmi vzácne, takže môžeme pozvať aj susedov.

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Pán peniažkový sa o tortu podelil takto: Najprv si sám zobral najväčší kus, potom dal Anke jeden kus, a potom prišlo niekoľko susedov (aspoň jeden), ktorí si postupne zobrali tiež po jednom kuse torty. Veľkosť každého kusu vieme vyjadriť ako zlomok veľkosti torty, ktorý má v čitateli číslo 1. Navyše žiadne dva kusy neboli rovnako veľké. Dokážte, že nech bolo susedov ľubovoľne veľa, mohli si všetci rozdeliť tortu tak, aby z nej na konci nič nezostalo.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Keď dojedli tortu a otecko išiel spať, Anka ešte ostala hore a začala kresliť svoj hrad. Bola si istá, že jej plán bude fungovať. Všetko, čo potrebuje, je len skala toho správneho tvaru...

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Máme pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C. Nad stranami AC a BC zostrojíme štvorce ACPQ a CBSR. Označme päty kolmíc na priamku AB z vrcholov Q a S postupne X a Y. Platí |QX|=3{,}6\,\text{m}, |SY|=6{,}4\,\text{m}. Určte obsah ABC.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Dnes, o nejaký čas neskôr AnkaP sedela v obchode na prízemí a čakala, až Lychondražej zase spadne z hradu. Po tom, čo získala odporúčania dosť lekárov, teraz oddychovala. AnkaP ale nikdy časom neplytvala, a preto aj teraz vymýšľala, ako by mohlo vyzerať dvadsiate deviate poschodie jej hradu...

Prémia 1

Kategórie:
5
6
7
8
9
Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.
Poschodie má tvar šachovnice veľkosti 7\times 7. Na prostrednom políčku sa nachádza schodisko nahor, zvyšné políčka obsahujú každé po 1 čísle. Na poschodí sú tri príšery, každá na inom políčku. V každom kole určíme každej príšere 1 zo 4 smerov (hore, dole, doprava alebo doľava) a posunieme ju v tomto smere o toľko políčok, aké je číslo na políčku, kde teraz stojí. Príšera, ktorá stojí na schodisku sa už nehýbe. Keď sa príšera ocitne na nejakom políčku, toto políčko sa zafarbí na zeleno. Rozmiestnite príšery a určte ako sa budú hýbať tak, aby po čo najmenej kolách boli všetky políčka zelené a všetky príšery sa dostali na schodisko. Pošlite nám počiatočné rozostavenie príšer spoločne s popisom, ako sa príšery majú v jednotlivých kolách hýbať.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (12)

  • SaraBorska
    18. marec 2021 19:24

    Prosím, tie tri políčka, na ktorých stoja príšery na začiatku, sú už od začiatku zelené?

  • Danko Vedúci
    19. marec 2021 22:45

    Ahoj,
    je to tak, príšery sa na začiatku ocitnú tam kde ich umiestniš, a teda tieto políčka budú rovno zafarbené.

    Danko

  • Zofia
    20. marec 2021 09:09

    dobrý deň, zafarbia sa všetky políčka, cez ktoré príšera prechádza alebo len to, kde sa na konci ťahu ocitne? ďakujem

  • Danko Vedúci
    20. marec 2021 16:26

    Ahoj,
    ako je uvedené v zadaní, políčko sa farbí na zeleno len keď sa na ňom príšera ocitne. Teda keď ho iba "preskočí" pri presune, tak sa na zeleno neprefarbí.

    Danko

  • HankaE
    01. apríl 2021 11:16

    Dobrý deň
    chcela by som sa opýtať, či príšera môže skočiť aj na už zelené políčko a ak áno, či ostane zelené?
    A ešte či môže skočiť na také, na ktorom práve je príšera?
    Hanka

  • MatejBachnicek
    02. apríl 2021 17:55

    Ak by sa príšera mal dostať počas svojho ťahu mimo šachovnice, čo sa stane? Je možné povedať príšere, aby spravila taký ťah?

    Vopred ďakujem za odpoveď, Matej

  • mišo Vedúci
    02. apríl 2021 18:13

    Ahojte,
    príšera môže skočiť aj na políčko, ktoré už je zelené. V takomto prípade by sa políčko malo zafarbiť znova na zeleno, takže zostane zelené. Na jedno políčko taktiež môžu skočiť aj viaceré príšery naraz. Aj vtedy sa zafarbí na zeleno (alebo zostane zelené, ak už bolo navštívené predtým).

    Príšery sa môžu hýbať iba vrámci poschodia-šachovnice. Nemôžete teda príšere nakázať, aby vyskočila mimo.

    Mišo

  • Jakub26
    04. apríl 2021 15:34

    Môžeme napr. 1 príšeru umiestniť priamo na schody? (Aj viac ako 1)
    Vopred ďakujem za odpoveď
    S pozdravom
    Jakub Hladík

  • AdelaHeftyova
    04. apríl 2021 18:18

    Môže príšera prejsť ponad schodisko? Teda napríklad z políčka s číslom 3 ktoré je presne pod schodiskom smerom hore na políčko s číslom 1?

    Ďakujem,

    Adela Heftyová

  • Danko Vedúci
    05. apríl 2021 11:05

    Ahojte,
    obe situácie na ktoré ste sa pýtali sú povolené.
    Môžete teda jednu príšeru nepoužiť tým, že ju dáte na schody, a príšera sa môže pohybovať aj ponad schodisko.

    Danko

  • SaterS
    05. apríl 2021 20:22

    Prepáčte, že sa pýtam takto neskoro, ale môže príšera aj naraziť do steny, keď má prejsť viac ako jej to steny dovoľujú.
    Predom ďakujem.
    Šimon

  • mišo Vedúci
    05. apríl 2021 20:44

    Ahoj,
    ako sme písali už vyššie, príšere nemôžeš nakázať, aby sa pohla mimo poschodia-šachovnice. Nemôže sa teda stať, že by mala prejsť viac, ako jej steny dovoľujú. V takom prípade treba zvoliť iný smer, pri ktorom prejde celú vzdialenosť bez toho, aby musela vyjsť mimo.

    Mišo

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa