Odporúčaný článok

2% z dane - Milí Ušiaci, rodičia, Tak ako minulý rok, tak aj tento sú Riešky poberateľom 2% z dane. Aj vďaka 2% z dane vieme financovať chod semináru, zorganizovať sústredenia a tábor a … Prejsť na článok

×
Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

Ú, Č, E a T sú štyri rôzne číslice. Platí, že štvorciferné číslo \overline{TEČÚ} je štyrikrát vyššie ako štvorciferné číslo \overline{ÚČET}. Aké môžu tieto číslice byť? Nájdite všetky možnosti.

Vzorové riešenie

Opravovali: Livka, stepi, šálka

Na začiatok nám môže pomôcť predstaviť si to ako násobenie pod sebou, pričom namiesto číslic si zatiaľ môžeme dať písmenká ako v zadaní.

\begin{matrix} Ú &\hspace{-5pt} Č &\hspace{-5pt} E &\hspace{-5pt} T \\ &\hspace{-5pt} &\hspace{-5pt} \cdot &\hspace{-5pt} 4 \\ \hline T &\hspace{-5pt} E &\hspace{-5pt} Č &\hspace{-5pt} Ú \end{matrix}

Ú

Ak si za Ú skúsime dosadiť rôzne číslice, rýchlo si všimneme, že ak je na začiatku čísla \overline{ÚČET} väčšie ako 2, po vynásobení dostaneme niečo väčšie ako 10. Výsledné číslo \overline{TEČÚ} by tak bolo aspoň 10\,000, čo odporuje tomu, že má byť štvorciferné.

Navyše, Ú máme aj na konci čísla \overline{TEČÚ}. Keďže \overline{TEČÚ} je násobok 4, tak je párne, a teda jeho posledná cifra musí byť párna. Nakoniec, keďže je na začiatku štvorciferného čísla \overline{ÚČET}, tak to nemôže byť 0. To nám necháva len jednu možnosť, Ú=2.

T

Ak Ú=2, tak po jeho vynásobení štyrmi dostaneme 8. Podľa toho, aký bude zvyšok (prechod cez desiatku) pri Č\cdot4, môže byť číslica T buď 8 alebo 9 (pozor, nezabúdať na to, že tam ten zvyšok môže byť!). Zároveň musí platiť, že ak vynásobíme T na konci čísla \overline{ÚČET} štyrmi, jeho posledná číslica bude Ú, teda 2. To nám neplatí v prípade T=9, takže vieme, že T=8.

Č

Teraz už poznáme prvú číslicu aj čísla \overline{ÚČET}, aj \overline{TEČÚ}. Môžeme si pritom všimnúť, že pri násobení štyrmi tu nepripočítame žiaden zvyšok (prechod cez desiatku) z Č\cdot4. Aby nám tam taký zvyšok nevznikol, musí byť Č\leq2.

Okrem toho máme Č aj v čísle \overline{TEČÚ}, ktoré je násobok štyroch, a teda aj \overline{ČÚ} musí byť násobok štyroch. Keďže už vieme, že Ú=2, tak Č musí byť nepárne (násobky štyroch, ktoré končia dvojkou, sú len 12 a 32, pokiaľ násobíme len jednou číslicou). Ostáva nám tak iba jedna možnosť, Č=1.

E

Teraz už vieme všetky číslice okrem E. Mohli by sme jednoducho vyskúšať dosadiť za E všetky číslice a zistiť, ktorá sedí, ale vieme to spraviť ešte jednoduchšie, bez skúšania. Pozrime sa, ako teraz vyzerá násobenie pod sebou.

\begin{matrix} 2 &\hspace{-5pt} 1 &\hspace{-5pt} E &\hspace{-5pt} 8 \\ &\hspace{-5pt} &\hspace{-5pt} \cdot &\hspace{-5pt} 4 \\ \hline 8 &\hspace{-5pt} E &\hspace{-5pt} 1 &\hspace{-5pt} 2 \end{matrix}

Keď vynásobíme 8\cdot4, dostaneme číslicu 2, a 3 nám ostanú. Ďalšiu číslicu, o ktorej vieme, že je 1, dostaneme tak, že vynásobíme E\cdot4, a pripočítame tento zvyšok 3. Bez tohto zvyšku bude teda posledná číslica 8 (teda 1-3, čo je s prechodom cez desiatku 11-3=8).

No a ktoré násobky štyroch (ak násobíme len jednou číslicou) končia osmičkou? Je to len 2\cdot4=8 a 7\cdot4=28. E teda musí byť 2 alebo 7, a keďže číslice majú byť navzájom rôzne, môžeme rovno povedať, že E=7.

Záver

Už teda máme všetky číslice. Podľa toho nám vychádza \overline{ÚČET}=2178. Musíme ešte overiť, či je to naozaj správne riešenie. 2178\cdot4=8712, čo je naozaj 2178 odzadu. Toto je teda jediné riešenie úlohy.