Kategórie:
5
6
7

Zadanie

Do tabuľky 3\times 3 chceme doplniť deväť rôznych prirodzených čísel tak, aby súčet čísel v ľubovoľnom riadku alebo stĺpci bol násobkom 11. Aký najnižší môže byť súčet všetkých deviatich čísel? Nájdite tabuľku, ktorá taký súčet dosahuje.

Vzorové riešenie

Opravovali: Red, palo

Toto je príklad typu "nájdite najmenšie číslo, že...". V takomto príklade sú dva základné kroky, ktoré úplne správne riešenie musí mať. Ten prvý - a často náročnejší - je spraviť dolný odhad nejakými logickými krokmi. Výsledok tejto časti by malo byť niečo ako "Nech už to (v tomto príklade vyplnená tabuľka) vyzerá akokoľvek, číslo menšie ako x to určite nebude." Druhý krok, ktorý treba urobiť, je zostrojiť tento minimálny prípad a tým ukázať, že x skutočne vyhovuje. Tejto osnovy sa budeme držať.

Poďme teda na prvý krok. Do tabuľky máme vložiť 9 rôznych nenulových prirodzených čísel. Z toho však vyplýva, že hľadaný súčet určite bude súčet aspoň taký, ako je súčet deviatich najmenších takýchto čísel, čiže 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
Navyše si uvedomme, že súčet všetkých deviatich čísel musí byť deliteľný jedenástimi. To je preto, lebo súčet všetkých čísel si vieme predstaviť ako súčet riadkových súčtov. Všetky tri riadkové súčty sú násobky čísla 11, teda aj ich súčet musí byť. To znamená, že najmenší možný súčet je najbližší väčší násobok čísla 11 ako číslo 45. To, ako dobre vieme, je práve 55.

Teraz sa presunieme na druhý krok a ukážeme, že celkový súčet 55 sa naozaj dá zostrojiť. Všimnime si teda napríklad nasledovnú tabuľku:

Samozrejme konkrétnych tabuliek s týmto súčtom je veľmi veľa. Nám ale stačí nájsť len jedno, aby sme vedeli, že 55 vyhovuje. Naše riesenie je teda zavŕšené.

Odpoveď: Najmenší možný súčet všetkých čísel v tabuľke je 55.

Komentár

Väčšina z vás zvládla oba kroky modelového postupu správne a ukázali ste všelijaké správne tabuľky. Ostatní ste zväčša nedokončili poriadne prvý odhadovací krok, za ktorý bola veľká väčšina bodov. Nuž a pár z vás nie úplne pochopilo zadanie, prípadne vynechali časť zadania. Za také riešenia bolo bodovanie podľa krokov relevantných v ozajstnej úlohe.