Verzia na tlač sa pripravuje...

Zadania 2. kola

Termín: 05. apríl 202122:00
Aktuálny termín sa nachádza na stránke https://riesky.sk
Pred nejakým časom u seba doma sedelo malé dievčatko a hralo sa so svojou obľúbenou hračkou - drevenými kockami:

1. príklad

Dievčatko postavilo z rovnakých malých kociek jednu veľkú kocku. Spočítalo, že 168 z nich sa dotýkalo stenou práve štyroch iných kociek. Z koľkých malých kociek sa skladala veľká kocka?
Dievčatko nemalo žiadne iné hračky, ale to mu nevadilo, pretože malo veľkú fantáziu a vedelo z rovnakých kociek spraviť veľmi veľa rôznych vecí. Hneď rozobralo veľkú kocku a radšej postavilo z kociek sedem veží, ktoré mu pripomínali hrad, ktorý každý deň vídalo v diaľke. Už si aj predstavovalo, ako by vyzeral zvnútra.

2. príklad

Dievčatko nakreslilo pôdorys hradu, ktorý vyzeral ako mriežka na obrázku. Jednotlivé políčka (časti hradu) si chcela očíslovať od 1 do 7 podľa toho, kde je koľko komnát. Stredné políčko musí mať 4 a zvyšných šesť políčok musí obsahovať v nejakom poradí 1, 2, 3, 5, 6 a 7 komnát tak, aby počet komnát v ľavom stĺpci (červená), počet komnát v pravom stĺpci (žltá), počet komnát v jednej diagonále (oranžová) a počet komnát v druhej diagonále (zelená) boli štyri rovnaké čísla. Aké sú všetky možné súčiny troch čísel v prostrednom riadku (modrá), ktoré takto vieme dosiahnuť?
Dievčatku sa hrad veľmi páčil. Raz by chcelo tiež bývať na vrchu nejakého hradu. Počulo, že tak bývajú princezné. Veľmi rado by sa raz stalo princeznou, aby mohlo tiež bývať na vrchu hradu. Počulo ale o väčšine princezien, že sú hlúpe, a bálo sa, že by sa to mohlo stať aj jemu. Malo teóriu, že výška hradu znamená, že na jeho vrchu je menej kyslíku, a preto mozgové bunky princezien, ktoré tak bývajú, postupne odumierajú. Ako tomu zabrániť? Mohlo by riešiť rôzne logické úlohy a trénovať si myseľ, napríklad takúto:

3. príklad

Do tabuľky 3\times 3 chceme doplniť deväť rôznych prirodzených čísel tak, aby súčet čísel v ľubovoľnom riadku alebo stĺpci bol násobkom 11. Aký najnižší môže byť súčet všetkých deviatich čísel? Nájdite tabuľku, ktorá taký súčet dosahuje.
V spomínanom hrade sa medzitým kráľovský ekonóm pán Peniažkový trápil nad kráľovským účtom. Čísla boli veľmi nízke a kráľovstvo bolo vo veľmi zlom stave, pretože všetky peniaze išli do rytierskeho priemyslu. Peniaze z účtu priam tiekli!

4. príklad

Ú, Č, E a T sú štyri rôzne číslice. Platí, že štvorciferné číslo \overline{TEČÚ} je štyrikrát vyššie ako štvorciferné číslo \overline{ÚČET}. Aké môžu tieto číslice byť? Nájdite všetky možnosti.
“Pán Kráľ, obávam sa, že kráľovský rozpočet nie je vôbec stabilný. Rozumiem, že chceme trénovať rytierov, aby zachraňovali princezné, ale ste si istý, že je to najlepšie využitie peňazí?” opýtal sa ekonóm Kráľa. “Zachraňovať princezné je veľmi dôležité, pán Peniažkový! Pokiaľ ich nezachránime, ostanú nezachránené a nebezpečné príšery ich budú držať vo svojich spároch!” odpovedal mu pán Kráľ. “Ale ekonómia je v troskách, rozumiem, že treba princezné zachrániť, ale pokiaľ skolabuje, tak bude treba zachraňovať všetkých.” “Žiaden strach, keď budeme strácať príliš veľa peňazí, proste presvedčíme ostatné kráľovstvá, aby sa s nami podelili o ich bohatstvo” navrhol Kráľ.

5. príklad

Na Medzikráľovskej Gemologickej Konferencií boli gemológovia štyroch kráľovstiev. Každý z nich mal zbierku iného druhu drahokamu. Jeden mal 8 rubínov, ďalší 10 zafírov, tretí 100 perál a posledný 5 diamantov. Každý dal na konferencií po jednom drahokame zo svojej pôvodnej zbierky každému inému gemológovi. Po konferencií mal každý gemológ drahokamy s rovnakou celkovou hodnotou. Vieme, že všetky kusy rovnakého drahokamu majú rovnakú hodnotu. Čia zbierka bola na začiatku najhodnotnejšia? Koľko drahokamov by ostatní museli mať na začiatku (svojho pôvodného druhu), aby mali ich zbierky rovnakú hodnotu pred výmenou?
Pán Peniažkový sa snažil kráľovi oponovať: “Pane, so všetkou úctou, nemyslím si, že takto fungujú medzikráľovské...” Ale Kráľ ho ani nenechal dorozprávať. “Teraz musíte súrne objednať viac rytierskeho vybavenia. Je to nesmierne dôležité, a nikto iný si s tým výpočtom nevie dať rady. Ak sa vám to podarí, odmena vás určite neminie.” Nariadil mu a niekam odbehol, pravdepodobne riešiť ďalšie rytierske záležitosti. Pán Peniažkový si povzdychol a išiel vyriešiť tento problém.

6. príklad

A, B, C a X sú cifry. \overline{AB}, \overline{BA}, \overline{BC}, \overline{CB}, \overline{CA} a \overline{AC} označujú dvojciferné čísla tvorené danými ciframi. Všetci vypočítali, že \overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} + X = 201. Pán Peniažkový si ale uvedomil, že to počítali nesprávne, keďže istý nemenovaný radca čítal rytiersky leták nesprávne. Okrem toho bolo treba objednať ešte 6 koní navyše. Aký je výsledok správneho výpočtu \overline{BA} + \overline{CB} + \overline{AC} + 7 \cdot X?
Pán Peniažkový dokončil svoju prácu a išiel výsledok odprezentovať kráľovi. Kráľ bol z výsledku veľmi potešený, odľahlo mu, že jeho biznis je zachránený. Preto sa rozhodol, že pána Peniažkového vyplatí štedrou odmenou. Zaplatí mu toľko peňazí, koľko len za hodinu zvládne napísať:

7. príklad

Kráľ zaplatí pánovi Peniažkovému ciferný súčin každého čísla, ktoré napíše. Pán Peniažkový je ale expert na matematiku a rozhodol sa, že na papier napíše každé štvorciferné prirodzené číslo práve raz. Koľko peňazí za to Kráľ pánovi Peniažkovému zaplatí?
Po tom čo dopísal a Kráľ mu vyplatil sľúbené peniaze, utekal s nimi do pekárne. Kým tam ale prišiel, inflácia zapríčinila, že si za ne mohol kúpiť iba jednu tortu (aj keď bola celkom veľká). Potom sa už konečne mohol vrátiť domov. “Už som doma, Anka!” povedal, keď prišiel. “Ahoj otecko! Ako moc sa pokazila ekonómia dnes?” opýtala sa ho Anka. “Musím povedať, že dnes trochu menej ako predchádzajúce dni” odpovedal jej, “ale stále viac ako je zdravé. Musím povedať, že pokiaľ sa to nezlepší, tak sa bojím o tvoju budúcnosť, Anka” “Ale kdeže, netreba sa o nič báť. Už som to vymyslela” odpovedala mu Anka. “Vážne?” “Áno! Budem princezná a...” “Princezná? Nemôžeš byť len tak princezná, Anka. Potrebuješ certifikát, šľachtický pôvod a… ešte veľa vecí. Radšej sa presťahuj do nejakého rozumnejšieho kráľovstva, ktoré kupuje menej rytierov.”

8. príklad

Na kružnici leží n kráľovstiev. Kráľovstvá sú v smere hodinových ručičiek očíslované číslami postupne od 1 až po n. Anka v žiadnom nie je spokojná a preto medzi nimi postupne cestuje. Začína v kráľovstve s číslom 1 a následne vykoná n-1 ciest. Pri každej ceste sa presunie v smere hodinových ručičiek o toľko kráľovstiev, aké číslo má kráľovstvo v ktorom sa práve nachádza. Keď dokončila všetkých n-1 ciest zistila, že v každom kráľovstve bola práve raz. Nájdite všetky možné hodnoty n, pre ktoré to mohlo nastať.
“Ale to je aj tak ešte ďaleko v budúcnosti." Hovorí Anke pán Peniažkový. ” Teraz sa máš ešte hrať s kockami, nie trápiť sa nad budúcnosťou.” “Netrápim sa nad budúcnosťou, otecko, ako som už povedala, mám plán, len si ma nenechal dohovo...” “Áno Anka, rozumiem, teraz je ale čas na večeru. Podarilo sa mi kúpiť celkom veľkú tortu, čo je dnes veľmi vzácne, takže môžeme pozvať aj susedov.

9. príklad

Pán peniažkový sa o tortu podelil takto: Najprv si sám zobral najväčší kus, potom dal Anke jeden kus, a potom prišlo niekoľko susedov (aspoň jeden), ktorí si postupne zobrali tiež po jednom kuse torty. Veľkosť každého kusu vieme vyjadriť ako zlomok veľkosti torty, ktorý má v čitateli číslo 1. Navyše žiadne dva kusy neboli rovnako veľké. Dokážte, že nech bolo susedov ľubovoľne veľa, mohli si všetci rozdeliť tortu tak, aby z nej na konci nič nezostalo.
Keď dojedli tortu a otecko išiel spať, Anka ešte ostala hore a začala kresliť svoj hrad. Bola si istá, že jej plán bude fungovať. Všetko, čo potrebuje, je len skala toho správneho tvaru...

10. príklad

Máme pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C. Nad stranami AC a BC zostrojíme štvorce ACPQ a CBSR. Označme päty kolmíc na priamku AB z vrcholov Q a S postupne X a Y. Platí |QX|=3{,}6\,\text{m}, |SY|=6{,}4\,\text{m}. Určte obsah ABC.
Dnes, o nejaký čas neskôr AnkaP sedela v obchode na prízemí a čakala, až Lychondražej zase spadne z hradu. Po tom, čo získala odporúčania dosť lekárov, teraz oddychovala. AnkaP ale nikdy časom neplytvala, a preto aj teraz vymýšľala, ako by mohlo vyzerať dvadsiate deviate poschodie jej hradu...

Prémia 1

Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.
Poschodie má tvar šachovnice veľkosti 7\times 7. Na prostrednom políčku sa nachádza schodisko nahor, zvyšné políčka obsahujú každé po 1 čísle. Na poschodí sú tri príšery, každá na inom políčku. V každom kole určíme každej príšere 1 zo 4 smerov (hore, dole, doprava alebo doľava) a posunieme ju v tomto smere o toľko políčok, aké je číslo na políčku, kde teraz stojí. Príšera, ktorá stojí na schodisku sa už nehýbe. Keď sa príšera ocitne na nejakom políčku, toto políčko sa zafarbí na zeleno. Rozmiestnite príšery a určte ako sa budú hýbať tak, aby po čo najmenej kolách boli všetky políčka zelené a všetky príšery sa dostali na schodisko. Pošlite nám počiatočné rozostavenie príšer spoločne s popisom, ako sa príšery majú v jednotlivých kolách hýbať.