Zadania 1. kola

Koniec: 07. október 2019 23:59
Do konca: kolo skončilo
Skupina vedúcich sa rozhodla, že pôjdu na výlet do hôr. Potrebujú si trochu vydýchnuť od školy a horský vzduch im vyčistí hlavu od starostí. Všetko sa im podarilo vybaviť. Dohodli sa na chate. Objednali si ubytovanie. Dokonca získali aj uvoľnenie zo školy. Všetci v dobrodružnej nálade sa ponáhľali domov pobaliť. Jeden z vedúcich, mladý Ušiak Ušatý, ale zistil, že zbaliť si všetku svoju batožinu, bude celkom náročné. Hlavne keď si nepamätá kód od svojho kufra.

1. príklad

Kategórie:
5
Zámok na kufri sa skladá z ôsmich kolečiek a na každom z nich sa dá nastaviť číslo od nula po deväť. Kód od kufra je dátum narodenia Ušiakovho pradávneho predka v tvare . (Teda ak by sa narodil 5. augusta 1596, kód by bol 05081596.) Avšak jediné, čo si Ušiak pamätá, je, že jeho pradávny predok sa narodil niekedy v lete v rokoch 1590 - 1594, a že v kóde sa nenachádza žiadna cifra dvakrát. Na kufri je ale napísané varovanie, že ak sa pri zadávaní kódu Ušiak pomýli viac ako 20-krát, tak sa kufor naveky zamkne. Bude Ušiakovi týchto 20 pokusov určite stačiť na otvorenie jeho kufru?
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Ušiaka po chvíľke prestalo baviť hádať kód. Veď čo keby znova zabudol ten kód a kufor by sa mu naveky zamkol počas výletu? Potom by si nevedel vybrať z neho svoje veci. Také niečo nebude riskovať. Radšej si pôjde do pivnice pohľadať nejakú inú cestovnú tašku. A tak aj urobil a našiel zaujímavú tašku s obdĺžnikovým prierezom.

2. príklad

Kategórie:
5
6
Ušiak si tento obdĺžnik nazval ABCD a zistil, že má obvod 130cm. V strede strán AB a CD si postupne vyznačil body X a Y. Následne odmeral obvod obdĺžnika AXYD, ktorý mal veľkosť 82cm. Ušiaka by ale zaujímalo, aké rozmery má pôvodný obdĺžnik. Zistite teda rozmery obdĺžnika ABCD.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Ušiak, spokojný s výberom svojej cestovnej tašky, si postupne začal pripravovať veci, ktoré si chcel zabaliť. Bolo toho celkom veľa, ale podarilo sa mu to naskladať do cestovnej tašky, ktorú len s ťažkosťami zazipsoval. Keďže má Ušiak veľmi rád číselné údaje a už si zistil rozmery a obvod jeho tašky, rozhodol sa, že si svoju tašku s batožinou odváži. Malo to ale jeden háčik. Ušiakova váha bola nepredvídateľná. Vážila v zvláštnych jednotkách a ešte zvláštnejšie zaokrúhľovala.

3. príklad

Kategórie:
5
6
7
Váha ukázala Ušiakovi štvorciferné číslo, ktoré malo všetky cifry rôzne. Ak z neho Ušiak škrtne posledné dve cifry, dostane prvočíslo. Ak škrtne prostredné dve cifry, dostane prvočíslo. Ak škrtne druhú a štvrtú cifru, tak znova dostane prvočíslo. Číslo, ktoré ukázala váha, je násobok 3. Koľko je všetkých možných čísel, ktoré mohla váha ukázať Ušiakovi?
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Váha batožiny bola prijateľná a tak si Ušiak preniesol svoju tašku do predsiene. Ešte raz si prešiel zoznam vecí, čo si mal zabaliť, ale nič si nezabudol zabaliť. V tom sa z kuchyne ozval Ušiakovo dvojča - jeho staršia sestra Miška Ušatá: „Ušiak! Vedel by si sem na chvíľu prísť?“ Ušiak prišiel do kuchyne a sadol si za kuchynský stôl. Jeho sestra sa na neho otočila a pokračovala: „Kupujem pre všetkých vedúcich lístky na vlak, ale niektorí vedúci mali požiadavky na číslo vozňa, v ktorom budeme sedieť. Pomôžeš mi nájsť najvhodnejší vozeň?“

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
Všetky požiadavky na číslo vozňu sa dajú zhrnúť nasledovne: Číslo vozňa je najmenšie také prirodzené číslo, ktorého polovica je deliteľná tromi, tretina deliteľná štyrmi, štvrtina deliteľná jedenástimi a jeho polovica dáva zvyšok 5 po delení siedmimi. Nájdite toto číslo.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
„Koľko nás vlastne nakoniec ide na tento výlet?“ spýtal sa Ušiak, potom ako Miška úspešne kúpila lístky na vlak. „Popravde si nepamätám,“ priznala sa Miška: „Lebo nie všetci idú týmto vlakom a tak neviem určiť počet vedúcich z počtu lístkov. Ale pamätáš si tú hru, ktorú sme hrali na poslednom stretnutí? Tú, kde každý z nás napísal na papier jedno číslo? Tak všetci, čo sme hrali tú hru, ideme. Aspoň myslím.“ „Tú hru si až tak dobre nepamätám. Vieš mi ju pripomenúť?“ spýtal sa Ušiak.

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Hra vyzerala asi takto. Na papieri bolo napísaných niekoľko kladných celých čísel. Miška si pamätala iba to, že každé číslo bolo polovicou súčtu všetkých ostatných čísel. Koľko čísel mohlo byť napísaných na papieri?
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
„To nás ide len toľko?“ spýtal sa Ušiak. „A koľko by si chcel, aby nás išlo? Päťdesiat? Sto? To by nás bolo veľmi veľa,“ poznamenala Miška: „V každom prípade musíme ešte napiecť koláč!“

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Miška piekla rovnobežníkový koláč, ktorý rozdelila na štyri časti, ako je vidieť na obrázku (obr. 1). Rezala z bodu vnútri koláča a rezy končili v strede strán. Aký je obsah Ušiakového kúska koláča, ktorý je označený otáznikom? (Čísla na obrázku určujú obsah danej časti.)

Obr. 1: Koláč

Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
„Prečo mám ja len takýto malý kúsok koláča?“ spýtal sa Ušiak Mišky. „Nesťažuj sa,“ odpovedala mu Miška, ktorá sa už pripravovala na odchod: „A hlavne už poď, lebo nestihneme vlak.“ Miška otvorila vchodové dvere ich bytu a išla privolať výťah. Výťah v ich dome je ale veľmi špeciálny a ak ho chce niekto privolať, tak musí najprv vylúštiť hádanku, ktorú mu výťah dá.

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Úloha, ktorú dal Miške výťah, bola veľmi jednoduchá. Do kruhových políčok na obrázku (obr. 2) mala Miška doplniť čísla 1, 2, ..., 9. Každé z nich sa mohlo použiť práve raz. Aby to ale nebolo také ľahké, šesť súčtov troch, respektíve štyroch čísel v políčkach na každej čiare museli byť zhodné. Miška mala povedať aké môžu byť čísla vo vrchnom krúžku. Dokážete to aj vy? Nájdite všetky čísla, ktoré môžu byť vo vrchnom krúžku a nezabudnite pre každé nájsť aspoň jeden prípad, kedy aj naozaj bude vo vrchnom krúžku.

Obr. 2: Políčka

Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Miške sa podaril privolať výťah a dvojčatá sa ponáhľali na autobus. Keď sa konečne dostali na stanicu, tak ich už privítali ich kamaráti vedúci, ktorí na nich čakali. Ušiak sa zapozeral na vlakovú stanicu. Cez prázdniny ju asi trochu opravovali a vymenili starú podlahu. Namiesto tvrdého betónu bola teraz podlaha vykachličkovaná trojuholníkmi. Tie Ušiaka hneď zaujali. A preto si aj okamžite vymyslel zaujímavú úlohu pre seba a pre ostatných vedúcich.

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Stanica má tvar rovnostranného trojuholníka so stranou dĺžky n metrov a je rozdelená na sieť rovnostranných trojuholníčkov s dĺžkou strany 1 meter. Skupina vedúcich sa nachádza v najvyššom trojuholníčku a potrebuje sa dostať na nástupište, ktoré sa nachádza na strednom trojuholníčku v najspodnejšom riadku. Môže sa pohybovať len cez stredy hrán trojuholníčkov dole, doprava alebo doľava, pričom sa nesmie vrátiť do trojuholníčka, v ktorom už bola. (Vyjsť z veľkého trojuholníka tiež nemôže.) Určte, koľkými spôsobmi môže skupina vedúcich prejsť stanicou na nástupište. Na obrázku je znázornená stanica pre n=4 a jedna možná cesta na nástupište.

Obr. 3: Stanica

Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Vedúcim sa podarilo dostať sa v poriadku na nástupište. Dokonca sa ani raz nestratili. Vlak bol neočakávane načas pristavený a oni hneď do neho nastúpili. Príjemne sa usadili na svoje miesta, povykladali si batožinu do poličiek a tešili sa na cestu. Počas cesty vlakom sa rozprávali a zabávali, a dokonca si zahrali aj pár hier. Ako sa tak zhovárali, tak si Ušiak listoval letákmi, čo boli položené na stolíku v ich kupé. Bol medzi nimi aj leták, ktorý odkazoval na úžasnú novú autobusovú sieť v mestečku Pod Horou.

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
V mestečku Pod Horou bola postavená nová sieť autobusových tratí. Je zostavená veľmi zaujímavým spôsobom. Na každej trati sú tri zastávky. Okrem toho každé dve trate buď nemajú spoločnú zastávku, alebo majú len jednu spoločnú zastávku. Aký najväčší počet tratí môže byť v mestečku, ak vieme, že je len deväť rôznych zastávok?
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa
Ušiak sa vytrhol zo zamyslenia o autobusových tratiach až keď bola cez rozhlas oznámená Podhorská stanica, na ktorej vedúci vystupovali. Bez toho, aby sa šírila panika, si vedúci zobrali svoju batožinu a vystúpili z vlaku do čerstvého horského vzduchu. Pomaly sa pobrali k chate, v ktorej mali objednané ubytovanie. Keď tam dorazili, tak si rozdelili izby a išli sa vybaliť. Večer sa stretli v spoločenskej a vedúci s prezývkou Hlava Mapa sa podelil s ostatnými o svoje pozorovanie železničnej trate.

Prémia 1

Kategórie:
5
6
7
8
9
Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.
Železničná trať je veľmi špecifická. Je to jedna súvislá čiara spájajúca stredy niektorých políčok „mriežky“ (obr. 4). Čiara prechádza cez strany políčok a sama seba sa nedotýka. T.j. ak čiara prechádza dvoma políčkami, ktoré susedia stranou, tak potom tieto políčka nasledujú na čiare hneď po sebe a ak prechádza dvoma políčkami, ktoré susedia rohom, tak potom existuje práve jedno iné políčko medzi nimi na čiare, na ktorom sa čiara otáča. Vašou úlohou je do mriežky nižšie nakresliť takúto nedotýkajúcu sa čiaru tak, aby sa otáčala na čo najviac políčkach.

Obr. 4: Železničná trať

Všetci vedúci sa snažili navrhnúť ideálnu železničnú trať. A navrhovali ich toľko, že sa neuveriteľne unavili a tak sa pobrali spať. Ušiaka ešte železnice dlho mátali v hlave, ale potom, ako z hlavy odmocnil pár čísel, sa mu konečne podarilo zaspať. Zajtra predsa vedúcich čaká náročný výlet a musia si pred ním dobre odpočinúť.
Vzorové riešenie Odovzdať

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa