Odporúčaný článok

Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok

×
Kategórie:
5
6
7

Zadanie

Váha ukázala Ušiakovi štvorciferné číslo, ktoré malo všetky cifry rôzne. Ak z neho Ušiak škrtne posledné dve cifry, dostane prvočíslo. Ak škrtne prostredné dve cifry, dostane prvočíslo. Ak škrtne druhú a štvrtú cifru, tak znova dostane prvočíslo. Číslo, ktoré ukázala váha, je násobok 3. Koľko je všetkých možných čísel, ktoré mohla váha ukázať Ušiakovi?

Vzorové riešenie

Opravovali: Danko, ViktorB, matejUuu

Zadanie nám hovorí, že hľadáme 4-ciferné číslo deliteľné tromi, pričom ak si jeho cifry označíme postupne A, B, C a D, tak čísla AB, AC AD musia byť prvočísla. Môžeme si všimnúť, že všetky tri prvočísla zdieľajú spoločnú prvú cifru. Zadanie nám tiež hovorí, že všetky cifry sú rôzne a preto, ak chceme takéto tri čísla vytvoriť, A musí byť taká cifra, ktorá tvorí desiatku aspoň trom rôznym prvočíslam. Keď si nájdeme zoznam dvojciferných prvočísel, napríklad na OEIS (https://oeis.org/A000040), zistíme, že takéto A môže byť buď 1, 4 alebo 7.

Pre A = 1 existujú prvočísla 11, 13, 17 a 19, ale cifry B, C, D môžu byť len 3, 7 a 9, keďže sa nesmú opakovať. Takéto číslo ale nikdy nebude deliteľné tromi, bez ohľadu na to, ktorá cifra bude priradená na ktorú pozíciu. Ciferný súčet tohoto čísla bude 1+3+7+9=20, čo nie je násobok trojky. Pravidlo delenia tromi nám však hovorí, že číslo je deliteľné tromi len vtedy a práve vtedy, keď je aj jeho ciferný súčet násobkom 3.

To isté si vieme všimnúť aj v prípade, že A = 7. Vtedy nám vzniknú 3 prvočísla iba ak majú cifry B, C a D hodnoty 1, 3 a 7. To však opäť použijeme cifry 1, 3, 7 a 9 s ciferným súčtom 20. V prípade, že A=4 je to však inak. Tam nám vzniknú prvočísla 41, 43, a 47, teda cifry čísla budú 4, 1, 3 a 7, s ciferným súčtom 15. Ten je deliteľný tromi, a teda aj všetky takéto čísla budú deliteľné tromi.

No a koľko je takýchto čísel už zistíme veľmi ľahko; prvá cifra musí byť 4, a potom buď už vieme, že ak usporiadavame 3 cifry do ľubovoľného poradia, tak počet možností je 3 faktoriál, a 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6, alebo si jednoducho napíšeme všetky možnosti. Na prvé miesto z troch ktoré usporiadavame môžeme dať 3 rôzne čísla, na druhé máme vždy už len 2 možnosti, ktoré nám zostali, a na posledné miesto nám zostane už len jedna cifra. Takto opäť dostaneme 3 \cdot 2 = 6 možností, a to sú: 4137, 4173, 4317, 4371, 4713 a 4731.

Odpoveď: Všetkých rôznych čísel, ktoré spĺňajú podmienky je 6.