Kategórie:
5

Zadanie

Zámok na kufri sa skladá z ôsmich kolečiek a na každom z nich sa dá nastaviť číslo od nula po deväť. Kód od kufra je dátum narodenia Ušiakovho pradávneho predka v tvare . (Teda ak by sa narodil 5. augusta 1596, kód by bol 05081596.) Avšak jediné, čo si Ušiak pamätá, je, že jeho pradávny predok sa narodil niekedy v lete v rokoch 1590 - 1594, a že v kóde sa nenachádza žiadna cifra dvakrát. Na kufri je ale napísané varovanie, že ak sa pri zadávaní kódu Ušiak pomýli viac ako 20-krát, tak sa kufor naveky zamkne. Bude Ušiakovi týchto 20 pokusov určite stačiť na otvorenie jeho kufru?

Vzorové riešenie

Opravovali: Jitka, david, timka

Máme nájsť osem miestny kód v tvare DDMMRRRR, ktorý obsahuje každú cifru práve raz. Keby mohla byť každá cifra všade bolo by to jednoduché, ale máme určité obmedzenia. Poďme si ukázať, kde nemôže byť ktorá cifra. Začnime rokom. Máme na výber z rokov 1950-1954, teda v každom roku sa nachádzajú cifry 1, 5 a 9. Rok 1951 má dve 1, teda sa nedá použiť a rok 1950 má nulu a to má aj každý z letných mesiacov 06, 07 a 08, teda nám ostávajú roky 1952, 1953 a 1954.

Ako sme už spomenuli mesiac zaberá určite cifru 0 a ešte vždy práve jednu z cifier 6, 7 a 8. V dvoch cifrách určených pre deň sa pozrieme na prvú cifru. Tá môže byť len 0, 1, 2 alebo 3, lebo dni sú od 01 po 31. My už sme však použili 0 a pri prvej cifre 3 môže byť druhá len 0 alebo 1, ktoré sme už obe použili, teda prvá cifra z dňa musí byť 2. To znamená, že rok 1952 nemôžeme použiť.

Už sme si povedali všetky obmedzenia pre deň, mesiac aj rok, bezohľadu nato, ktorú kombináciu dňa, mesiaca a roku použijeme. Teraz si už len musíme vypísať, koľko druhých cifier pre deň vieme použiť, pre ktoré roky a mesiace. Celkovo sme použili pre rok cifry 1, 5 a 9 a jednu z cifier 3 a 4, pre mesiac cifru 0 a jednu z cifier 6, 7 alebo 8 a pre prvú cifru dňa 2. Pre druhú cifru z dňa máme na výber zo všetkých 10 cifier okrem tých, čo sme už použili, ktorých je vždy dokopy 7. Máme teda vždy 3 možnosti pre druhú cifru dňa, nezáleží na tom, ktorý mesiac alebo rok použijeme, keďže cifry, ktoré by sme tým využili sú unikátne, čo znamená, že pre každý rok môžeme použiť každý mesiac a opačne a vždy nám ostanú ešte 3 cifry.

Už to len všetko spočítame. Máme vždy 3 možnosti pre deň, 3 možnosti pre mesiac a 2 možnosti pre rok. Teda dokopy 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18 možností, čo je menej ako 20.

Ušiakovi sa podarí otvoriť kufor na menej ako 20 pokusov.