Koniec: 12. október 202022:00
Do konca: kolo skončilo
Michard si vzdychol. Táto online hodina už trvala neskutočne dlho a profesorka nie a nie prestať rozprávať. Nudil sa. Pozerať sa hodinu na čiernu obrazovku nie je totiž práve zábavné. Akurát keď začal rozmýšľať nad tým, čo by mohol robiť popri počúvaní výkladu, profesorkin hlas sa zasekol uprostred slova. Michard sa zmätene pozrel na obrazovku, kde svietilo zvláštne okno – „Ak sa chceš vrátiť naspäť na hodinu, tak mi vyrieš tento hlavolam.“

1. príklad

Kategórie:
5
Dvaja profesori, dvaja študenti a počítač sa potrebujú dostať cez rieku. Jedinou cestou je preplaviť sa na plti. Obidvaja profesori vážia každý po 70 \, \text{kg}, obidvaja študenti vážia každý po 35 \, \text{kg} a počítač váži 10 \, \text{kg}. Plť má nosnosť 70 \, \text{kg} a všetci okrem počítaču ju vedia obsluhovať. Najmenej koľkokrát musia previezť plť cez rieku, aby sa všetci dostali na druhú stranu?

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

Michard sa zamyslel. Hodina bola síce nudná, ale asi by ju nemal zmeškať. A tak za chvíľku vyriešil hlavolam a výsledok zadal do počítača. „Neskoro, čas na odovzdanie už uplynul. Vypínam všetky otvorené okná a aplikácie,“ ozvalo sa z reproduktorov a pred Michardom sa objavila jeho domovská plocha. Michard sa zamračil: „Toto je nejaký zlý vtip,“ a klikol na ikonu prehliadača, aby sa opäť prihlásil na hodinu. Avšak jeho počítač mal iné zámery.

2. príklad

Kategórie:
5
6
Na obdĺžnikovej obrazovke sa objavilo 9 pravouholníkových okien, ktoré majú celočíselné dĺžky strán. Pri piatich oknách sú zapísané veľkosti ich obsahov v centimetroch štvorcových. Určte obvod celej Michardovej obrazovky. Poznámka: Obrázok je len ilustračný, dĺžky čiar nemusia zodpovedať reálnym dĺžkam.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

Zvláštna obrazovka Micharda nezaskočila tak, ako správa, ktorá mu prišla cez počítač – „Ahoj, poď sa so mnou hrať.“ Michard nevedel, čo si o tom má myslieť, ale keďže jeho počítač nejako nechcel spolupracovať a okrem bytia na online hodine nemal čo iné robiť, odpísal „Okej“.

3. príklad

Kategórie:
5
6
7
Pokyny Neznámeho boli nasledovné. Michard si mal napísať na papier dve celé čísla od 1 po 9 vrátane a následne sa mal s nimi takto zahrať:
  1. Zvoliť si jedno číslo z dvojice a prirátať k nemu 1.
  2. Vynásobiť výsledok piatimi.
  3. Znova prirátať 1.
  4. Výsledok zdvojnásobiť.
  5. Odčítať 1.
  6. Prirátať druhé číslo, ktoré si napísal na papier.
  7. Prirátať 2.
  8. Výsledok opäť zdvojnásobiť.
  9. Odčítať 8.
  10. Vydeliť dvomi a povedať Neznámemu výsledok.
Neznámy mu na to odpovedal, že vie aké dve čísla si Michard napísal na papier, avšak jeho pamäť nie je dostatočná na to, aby si pamätal všetky možné výsledky. Ako to mohol Neznámy urobiť?

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

Michardovi sa táto hra vôbec nepáčila. Veď to ani hra nebola. A tak napísal Neznámemu správu – „Toto nebola hra, nechceš si zahrať nejakú hru online?“ Keď ale Michard stlačil tlačidlo odoslať, tak mu na obrazovku vyskočilo okno – „Zadajte heslo.“ Nech sa Michard snažil akokoľvek nevedel prísť na to, čo by to mohlo byť za heslo. Po niekoľkých Michardových nevydarených pokusoch uhádnuť ho, sa objavil v okne ďalší text, ktorý znel nasledovne.

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
Heslom je nejaké trojciferné prirodzené číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné číslom 6 a v ktorom môžeme vyškrtnúť ktorúkoľvek cifru a vždy dostaneme dvojciferné prirodzené číslo, ktoré je tiež bezo zvyšku deliteľné číslom 6. Keďže ale Michard nevedel, ktoré z týchto trojciferných prirodzených čísel bude heslo, tak ich našiel všetky. Nájdite ich aj vy.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

Po niekoľkých pokusoch sa na obrazovke objavilo – „Heslo je správne.“ A hneď potom sa z reproduktorov ozvalo: „Spúšťanie pripojenia. Zapínanie a aktualizácia systému dokončená. Začiatok prenosu o tri... dva... jeden... štart.“ Monitor začal blikať a Michard zrazu pocítil ako ho niečo ťahá do počítača. Snažil sa zachytiť o stoličku alebo stôl, ale schmatol len prázdnotu. Keď sa opäť prebral a prispôsobil sa mu zrak, tak uvidel, že sa ocitol vo zvláštnom prístroji.

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Zvláštny prístroj, v ktorom sa Michard ocitol, sa nachádza na útese. Ak spraví 2 kroky dopredu alebo dozadu oproti svojej terajšej pozícii, spadne do priepasti. Aby sa mohol Michard s prístrojom hýbať, musí zadať postupnosť pokynov. Pokyn môže byť jedine krok dopredu alebo krok dozadu. Prístroj si potom zvolí nejaké prirodzené číslo n, ktoré dopredu nepoznáme, a splní len tie pokyny zadanej postupnosti, ktorých poradové číslo je násobok n. Akú najdlhšiu postupnosť pokynov vie Michard zadať prístroju, aby určite nespadol s prístrojom do priepasti?

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

Nanešťastie sa prístroj aj s Michardom zrútil do priepasti. Avšak predtým ako narazil na jej dno, prístroj náhle spomalil, jemne dosadol a vypustil Micharda von. Prvé čo zarazilo Micharda bolo jasné svetlo. Bol predsa na dne priepasti, či nie? A ako druhé ho zarazilo, že tam nebol sám. Okrem neho tam stálo jedno dievča a jeden chlapec vedľa identických prístrojov ako ten, z ktorého práve Michard vystúpil. „Ahoj ja som Vikiel,“ predstavil sa chlapec. „A ja Ena,“ pridalo sa dievča a zvedavo sa spýtalo: „Aj teba vtiahol počítač?“ Michard prikývol: „Áno, volám sa Michard. Teší ma.“ Ich predstavovanie prerušil zvučný hlas: „Vitajte dobrodruhovia z vonkajšieho sveta! Sme radi, že ste nás poctili svojou prítomnosťou a tak sme každému z vás pre zjednodušenie organizácie pridelili číslo. Dúfam, že sa vám bude páčiť.“

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Všetci traja dostali pridelené po jednom prirodzenom čísle. Vieme, že platí:
  • Najväčší spoločný deliteľ Michardovho čísla a Vikielovho čísla je 15.
  • Najväčší spoločný deliteľ Vikielovho čísla a Eninho čísla je 6.
  • Súčin Vikielovho čísla a Eninho čísla je 1 800.
  • Najmenší spoločný násobok Michardovho čísla a Vikielovho čísla je 3 150.
Určte Michardovo, Vikielovo a Enino číslo.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

„Kde to ale sme?“ spýtala sa Ena, keď zistila svoje číslo. „Toto je svet vnútri počítača, svet zábavy a hier. Toto je to najúžasnejšie miesto, kde sa môžete nachádzať,“ odpovedal jej hlas. „Ja tu ale žiadne hry nevidím,“ ohradil sa Vikiel obzerajúc sa dookola. „Samozrejme, samozrejme. Najprv musíte prísť na miesto, kde existuje hra. Preto vám darujem túto mapu. Veľa zábavy, milý dobrodruhovia,“ rozlúčil sa tajomný hlas.

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Na mape bol zobrazený pravidelný 80-uholník s dĺžkou strany 1, kde každý vrchol označoval miesto, kde existuje hra. Ukážte, že keď si naši traja hrdinovia spomedzi vrcholov tohto 80-uholníka vyberú 27 vrcholov a pospájajú ich do 27-uholníka, tak aspoň jedna strana tohto 27-uholníka bude kratšia ako 2.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

„Máme teda vybratú našu najbližšiu destináciu,“ povedal Michard a ukázal na jeden z vrcholov 80-uholníka: „Táto je najbližšie.“ „Tak poďme!“ zvolala nadšená Ena a trojica dobrodruhov sa pobrala v ústrety ich novému dobrodružstvu. Keď prišli na miesto, tak tam našli veľa kameňov, na ktorých boli pomaľované všelijaké čiary. Naša trojica sa na to zadumane pozerala, ale nič sa nestalo a tak sa pobrali po okolí hľadať pravidlá tejto hry.

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Na kameni bol nakreslený rovnobežník ABCD, ktorého vnútorné uhly nie sú pravé. Body O, P, Q, R boli postupne stredmi kružníc opísaných trojuholníkom DAB, ABC, BCD, CDA.
  1. Dokážte, že štvoruholník OPQR je rovnobežníkom.
  2. Dokážte, že \measuredangle ABC = \measuredangle PQR.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

„Čo sa mi tu motáte po poli?“ ozvalo sa zrazu. Trojica dobrodruhov sa otočila a zbadala ako k ním kráča o trochu od nich starší chlapec. „Poli?“ spýtala sa Ena. „Veď nevidíš, že tu pestujem geometrické kamene?“ spýtal sa chlapec. „To sú plodiny?“ začudoval sa Michard. „Najlepšej kvality,“ odpovedal chlapec a potom sa na troch dobrodruhov zamračil: „Nebodaj ste mi ich chceli ukradnúť, že ste sa tu tak obzerali.“ „To nebolo v našom zámere. Mysleli sme si, že je to nejaká hra a tak sme hľadali pravidlá alebo spúšťač,“ odvetil Vikiel. „No neviem, či vám verím. Avšak keď vyriešite moju hádanku, tak vám uverím a odpoviem na vaše otázky,“ odvetil chlapec.

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Chlapec napísal na kameň dve jednotky a za ne dopísal ich súčet. Potom na ďalšie miesto napísal rozdiel predchádzajúcich dvoch čísel. Takto dopisoval na striedačku súčet a rozdiel predchádzajúcich dvoch čísel. Potom zoškrabal každé druhé číslo. Pomôžte našim dobrodruhom a dokážte, že každé nezoškrabané číslo, okrem prvých dvoch, je súčtom dvoch predchádzajúcich nezoškrabaných čísel.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

Keď Vikiel dopovedal správnu odpoveď, tak si chlapec vzdychol: „Takže chytili ďalšiu várku.“ „Chytili?“ spýtala sa Ena. „Ďalšiu várku?“ opýtal sa Michard. „Boli ste unesení do sveta vo vnútri počítača a z tadiaľto nie je cesty von,“ povedal chlapec. „Nie je cesty von?“ spýtala sa zhrozená Ena. „Aj teba chytili?“ spýtal sa Vikiel. „Áno, chytili, už pred pár rokmi,“ odpovedal chlapec: „Volám sa Mertor a uniesli ma asi pred týždňom alebo to mohol byť mesiac alebo aj viac, neviem, čas tu plynie inak.“ „Nikdy sa nedostaneme domov?“ rozplakala sa Ena. „Zatiaľ som cestu von nenašiel,“ povedal Mertor: „Ale nejaká môže existovať. Počul som chýry, že sa tu niekde nachádza knižnica s odpoveďami na všetky otázky.“

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Máme štvorec ABCD. Pre každý jeho vnútorný bod alebo bod na jeho obvode vieme určiť súčet druhých mocnín vzdialeností do všetkých vrcholov tohto štvorca. Chýry hovoria, že v niektorom z bodov, ktoré majú tento súčet najväčší sa nachádza knižnica. Zistite, v ktorých bodoch dostaneme najväčší súčet.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

  • Pridaj komentár

„Tak to nie je až tak veľa miest, ktoré musíme prejsť,“ povedal Michard. „Nie je,“ prisvedčil Vikiel. „Tak poďme už, nechcem tu byť ani o minútu dlhšie ako musím,“ povedala Ena. „Najprv by sme sa ale mali zbaliť,“ skonštatoval Mertor.

Prémia 1

Kategórie:
5
6
7
8
9
Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.
Čím lepšie sa dobrodruhovia zbalia na cestu, tým bude úspešnejšia. Kufor má tvar štvorčekovej mriežky 6 \times 10. Hrdinovia chcú rozdeliť 2 spôsobmi mriežku na 12 nie nutne rôznych pentomín - útvarov zložených z 5 štvorčekov. Platí, že rovnaké pentominá sa nemôžu dotýkať hranou. Následne v mriežke vyznačia všetky hrany, ktoré sú hranicou medzi pentominami v aspoň jednom rozdelení. Pokúste sa nájsť takú dvojicu rozdelení, že počet nevyznačených hrán bude čo najmenší. Poznámka: Dve pentominá považujeme za rovnaké, ak z jedného dokážeme získať druhé pomocou otáčania a preklápania.

Komentáre (2)

  • MatejBachnicek
    10. október 2020 10:12

    Dobrý deň,
    Rátajú sa vonkajšie hrany obdĺžniku (obvod) ako vyznačené hrany, ako nevyznačené hrany alebo sa nerátajú vôbec?
    Vopred ďakujem za odpoveď.

  • mišo Vedúci
    10. október 2020 12:00

    Ahoj,
    hrany na obvode obdĺžnika sa nerátajú do nevyznačených. Môžeš ich teda brať ako vyznačené.

    Mišo

  • Pridaj komentár