Kategórie:
5
6

Zadanie

Na obdĺžnikovej obrazovke sa objavilo 9 pravouholníkových okien, ktoré majú celočíselné dĺžky strán. Pri piatich oknách sú zapísané veľkosti ich obsahov v centimetroch štvorcových. Určte obvod celej Michardovej obrazovky. Poznámka: Obrázok je len ilustračný, dĺžky čiar nemusia zodpovedať reálnym dĺžkam.

Vzorové riešenie

Opravovali: MartinŠ, david, palo

Riešenie

Voľne si prekreslime obrázok a označme si šesť dĺžok strán písmenami a,b,c,d,e,f.

Pretože všetky útvary sú podľa zadania pravouholníky, vieme s istotou povedať, že každá označená dĺžka sa nachádza v obrázku na práve štyroch miestach - vždy buď pod písmenom, alebo napravo od písmena. Navyše, každé z deviatich "okien" musí byť obdĺžnik (alebo štvorec).

Ako dobre vieme, obsah obĺžnika sa počíta súčinom dĺžok dvoch susedných strán. Preto teraz vieme, že b \cdot e = 4. Keďže všetky dĺžky majú byť celočíselné, máme tri možnosti: b = 1, e = 4 alebo b = 4, e = 1 alebo b = 2, e = 2.

Predpokladajme, že b = 1, e = 4. Ďalej vieme, že a \cdot e = 6, z čoho vyplýva 4a = 6 a následne a = 1,5. To je v rozpore s predpokladom, že všetky dĺžky sú celočíselné. Takže b \neq 1, e \neq 4.

Rovnakým uvažovaním vieme vylúčiť aj možnosť b = 4, e = 1. To by totiž viedlo k záveru, že d = 1,5. Opäť spor, teda b \neq 4, e \neq 1.

Posledná možnosť, ktorá nám zostala, je b = 2, e = 2. Teraz si vieme dopočítať všetky zvyšné dĺžky: Vieme, že platí a \cdot e = 6, z čoho po vydelením e = 2 získame a = 3.
Analogicky zistíme, že c = 6, d = 3, f = 4.

V tejto chvíli máme ale hotovo, lebo poznáme všetkých šesť dĺžok a je jasné, že obvod obrazovky je rovný 2 \cdot (a+b+c) + 2 \cdot (d+e+f). Stačí už len dosadiť: 2 \cdot (3+2+6) + 2 \cdot (3+2+4) = 2 \cdot 11 + 2 \cdot 9 = 40.

Odpoveď: Obvod Michardovej obrazovky je 40.

Komentár

Príklad ste zvládli prevažne dobre. Najčastejšie typy chýb boli: nedokončené vysvetlenie, ako sa od "kríža" dostať ku skutočnému výsledku, zanedbanie niektorej možnosti úplne, alebo to, že ste odovzdali obrázok s výpočtom, za čo sme vám mohli dať iba málo bodov.