Zadania 3. kola

1. príklad

V Mendelovom laboratóriu sú hrášky troch rôznych farieb: hnedé, žlté alebo zelené, a z každej farby je aspoň jeden hrášok. Mních Augustín si všimol, že nech si vyberie ľubovoľné tri hrášky, aspoň jeden z nich je hnedý. Mních Benedikt si všimol, že nech si vyberie ľubovoľné tri hrášky, aspoň jeden z nich je žltý.

Keď tieto pozorovania povedali Mendelovi, on im na to odpovedal: „Tak potom aj keď si vyberieš ľubovoľné tri hrášky, tak aspoň jeden z nich bude zelený.“ Má Mendel určite pravdu? Ak áno, prečo? Ak nie, aké by tam mohli byť hrášky, aby to nebola pravda?

2. príklad

Marston sa rozhodol svoj prototyp detektoru lži preveriť v praxi na svojich kolegoch. V jeho práci je v rade vedľa seba niekoľko kancelárií (viac ako 1). V každej kancelárii sídli jeden kolega, ktorý buď vždy hovorí pravdu alebo vždy klame. Keď majú kolegovia kancelárie vedľa seba, nazývame ich susedia.

Marston sa svojich kolegov môže pýtať tieto otázky:

• „Sú obaja tvoji susedia pravdovravní?“
• „Sú obaja tvoji susedia klamári?“
• „Je jeden tvoj sused pravdovravný a jeden klamár?“

Pokiaľ sa ale pýta niekoho, kto má kanceláriu na kraji (teda má len jedného suseda), tak sa môže spýtať iba, či je ten jeden sused pravdovravný alebo klamár.

Marston si môže ľubovoľne veľakrát vybrať jedného z kolegov a spýtať sa ho jednu z povolených otázok.

Pri akom počte kancelárií vie Marston určite zistiť, kto sú klamári a kto pravdovravní kolegovia? V prípadoch keď sa to dá, popíšte, ako to má spraviť, a keď sa to nedá, vysvetlite prečo.

3. príklad

Archeológovia našli nálezisko neandertálca. Pri pozostatkoch našli aj korálkové náhrdelníky pre neandertálske fešandy. Tieto náhrdelníky boli vytvárané veľmi špecifickým spôsobom. Na kružnicovú šnúrku najprv v lubovoľnom poradí umiestnili dva typy ozdôb: 4 korálky a 5 perličiek. Potom pre každú po sebe idúcu dvojicu umiestnili nové ozdoby takto: ak je dvojica rovnakého typu ozdoby, tak medzi ne vložili korálku, a ak rôzneho, tak medzi ne vložili perličku. Potom odstránili pôvodné ozdoby, a tak im znova zostal náhrdelník s 9 ozdobami. Tento proces zopakovali niekoľkokrát.

Je možné, aby takto vytvorili aj náhrdelník, na ktorom sú ozdoby iba jedného typu? Ak áno, nájdite príklad takého náhrdelníku. Ak nie, vysvetlite, prečo to určite nejde.

4. príklad

Newton si povedal, že si vyberie tri rôzne nenulové cifry a vytvorí z nich všetky možné trojciferné čísla. Keď sčítal 5 z nich, dostal súčet 3348. Teraz sa Leibniza pýta: „Aké je posledné číslo z trojciferných kombinácií, ktoré som nezarátal do súčtu?“ Pomôžte Leibnizovi nájsť toto číslo. Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo iné už nie sú.

5. príklad

Vyplňte štvorce na jeho mozaike nezápornými celými číslami (0, 1, 2, 3, \dots) tak, že v každom riadku, v každom stĺpci aj na oboch uhlopriečkach bude rovnaký súčet. Do súčtu sa rátajú čísla na všetkých štvorčekoch, ktoré v riadku/stĺpci/uhlopriečke majú aspoň časť. Napríklad súčet v prvom riadku by bol číslo v modrom štvorci plus číslo v červenom štvorci plus čísla v dvoch bielych. Nájdite všetky možnosti vyplnení štvorca a vysvetlite, prečo nemôžu byť iné.

6. príklad

Ako Caesar prekračoval rieku Rubikon, hádzal pri tom dvomi kockami. Na nešťastie sa mu však pri jednom nešikovnom hode skotúľali do rieky. Keď ich vylovil, zistil, že sa na nich zmyli niektoré bodky a teda zmizli, aj keď na každej stene stále ostala aspoň jedna bodka. Caesar si potom ale všimol, že napriek tomu na tých kockách stále mohol padnúť každý súčet od 2 do 12. Koľko najviac bodiek sa mohlo zmyť?

7. príklad

Majme lichobežník ABCD so základňami AB a CD. Na strane AB si zvolíme body P a Q (v tomto poradí) tak, aby |AP| = 2 a |PQ| = |QB| = 1. Priesečník uhlopriečok štvoruholníku CDPQ označme X. Ďalej vieme, že obsah trojuholníka DPX je 1 a obsah CQB je 2. Aký je obsah celého lichobežníka ABCD?

8. príklad

Edison by teraz chcel vyskúšať svoj vynález a umiestniť niekoľko žiaroviek do miestnosti ako na obrázku, aby ju celú osvetlil.

Žiarovku si môžeme predstaviť ako bod v rovine a žiarovka vyžaruje lúče po priamkach do všetkých smerov, až kým lúč nenarazí na stenu. Lúč môže ísť aj pozdĺž steny, teda po okraji miestnosti. Bod miestnosti je teda osvetlený vtedy, keď sa dá spojiť priamkou s nejakou žiarovkou tak, že priamka nepretne stenu (ale môže sa jej dotýkať).

1. Vysvetlite, prečo nám na osvetlenie celej miestnosti určite nestačia 2 žiarovky.
2. Nájdite spôsob, ako miestnosť osvetliť pomocou 3 žiaroviek.

9. príklad

Pierre a Mária majú 10 papierikov očíslovaných od 1 do 10. Dokážte, že keď si ich ľubovoľne rozdelia tak, že každý si zoberie 5 kartičiek, tak aspoň jeden z nich bude vedieť zo svojich čísel vybrať tri, ktoré tvoria aritmetickú postupnosť.

10. príklad

…má 27 dukátov, ktorých hmotnosti sú 3^0, 3^1, \dots, 3^{26}. Okrem toho má rovnoramennú váhu s dvomi misami, na ktoré vie ukladať mince (na jednu misu môže dať ľubovoľne veľa mincí). Pri jednom vážení váha povie, ktorá misa je ťažšia a o koľko.

1. Ako vie nájsť mincu s hmotnosťou 1 na čo najmenej vážení?
2. Ako vie zistiť hmotnosti všetkých mincí tak, aby pri tom dokopy spravil čo najmenej vážení?