Odporúčaný článok

Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok

×
Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Pierre a Mária majú 10 papierikov očíslovaných od 1 do 10. Dokážte, že keď si ich ľubovoľne rozdelia tak, že každý si zoberie 5 kartičiek, tak aspoň jeden z nich bude vedieť zo svojich čísel vybrať tri, ktoré tvoria aritmetickú postupnosť.

Poznámka: Tri čísla a<b<c tvoria aritmetickú postupnosť, ak susedné členy majú rovnaký rozdiel, teda b-a=c-b (napríklad 1, 2, 3 alebo 2, 5, 8).

Vzorové riešenie

Opravovali: Danko, MatejCisko

Budeme dokazovať toto tvrdenie sporom. Pokúsime sa teda kartičky rozdeliť tak, aby ani Pierre ani Mária postupnosť nemali, a zistíme, že sa to nedá.

Keďže rozdeľujeme všetky kartičky, tak každý bude mať na konci 5 kartičiek. Preto ak ukážeme, že jeden z nich nemôže mať nejakú kartičku, určite ju musí mať ten druhý.

Môžeme si všimnúť, že ak by jeden hráč mal 3​ a 5​, tak by vytvoril postupnosť s: (1, 3, 5​), aj s 4​ (3, 4, 5​) aj so 7​ (3, 5, 7​), teda druhý hráč musí mať 1​, 4​ aj 7​. To ale nefunguje, lebo 1, 4, 7​ je tiež aritmetická postupnosť, a teda ak ju nechceme vytvoriť, žiaden hráč nemôže mať aj 3 aj 5.

To isté vieme povedať o dvojiciach 4​ a 6​, 5​ a 76​ a 8:

  • 4​ a 6 nemôžu byť s 2​, 5​ ani 8​, ktoré potom tvoria postupnosť u druhého hráča
  • 5​ a 7​ nemôžu byť s 3​, 6​ ani 9​, ktoré tvoria postupnosť
  • 6 a 8 nemôžu byť s 4​, 7​ ani 10​, ​ktoré tvoria postupnosť

Teda dvojice 3​ a 5​, 4​ a 6​, 5​ a 7​ ani 6​ a 8​ nemôže mať jeden hráč. To znamená, že ten hráč, ktorý bude mať 5​ nebude mať 3​ ani 7 - bude ich musieť mať druhý hráč. Podobne ten čo bude mať 6​ nemôže mať 4​ ani 8​, a teda má obe druhý hráč.
Pozrime sa teraz na možnosti, ako môžu byť rozdelené dvojice 3​ a 7​, 4​ a 8​. Najprv na možnosť, kde má všetky tieto čísla jeden hráč, a neskôr na druhú možnosť kde 3, 7​ má jeden a 4​, 8​ má druhý.

Ak má jeden z nich  3, 4, 7, 8, tak nemôže mať:

  • 1​ (1, 4, 7​ je postupnosť) 
  • 2​ (2, 3, 4​ je postupnosť)
  • 5​ (3, 4, 5​ je postupnosť)
  • 6​ (6, 7, 8​ je postupnosť)
  • 9​ (7, 8, 9​ je postupnosť)
  • 10​ (4, 7, 10​ je postupnosť)

To boli ale všetky zvyšné kartičky, a teda nech má hocijakú štvrtú kartičku, vytvorí postupnosť.
Vieme preto, že jeden hráč musí mať 7, 3​ a druhý 8, 4​. Poďme to skúsiť.

Ten kto má 7, 3​ (nazveme ho prvý) nemôže mať 5​, lebo 3, 5, 7​ je postupnosť. Druhý teda musí mať 5​, a potom nemôže mať 6​, lebo už má 48​ a 4, 5, 6​ by bola postupnosť. Teda prvý musí mať 6, preto  nemôže mať 9​, lebo by to vznikla postupnosť 3, 6, 9. Ak druhý musí mať 9, tak nemôže mať 10​, lebo 8, 9, 10​ je postupnosť. Prvý musí mať 10​, a preto nemôže mať 2​, lebo 2, 6 ,10​ je postupnosť. Ak ale druhý musí mať 2 dostane postupnosť 2, 5, 8​, a teda sa postupnosti nedá vyhnúť ani tu.


Odpoveď:
Zistili sme, že vo všetkých možnostiach nám vznikne postupnosť, ktorú budeme vedieť vybrať z kartičiek jedného hráča.