Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok
×7. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Pierra a Máriu Curie už dobre poznáte a ako viete, nikdy nepohrdnú dobrou spoločenskou hrou. Ich najnovšia obľúbená pozostáva z 10 papierikov, na ktorých sú napísané čísla od 1 do 10. Manželia si striedavo berú po jednom papieriku, pričom prvý papierik si zobral Pierre. Vyhrá hráč, ktorý dostane aritmetickú postupnosť z aspoň troch čísel na svojich papierikoch. Ktorý hráč má víťaznú stretégiu a aká táto stratégia je?
Poznámka: Aritmetická postupnosť je taká, že susedné členy majú vždy rovnaký rozdiel. Víťazná stratégia znamená, že hráč podľa nej dokáže vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá jeho súper.Vzorové riešenie
Pri hre dvoch hráčov, to vždy vyzerá podobne. Vyberieme si hráča pre ktorého sa budeme snažiť odkázať, že má víťaznú stratégiu (ak si myslíme, že taký hráč existuje, ak nie, tak pre oboch hráčov sa snažíme ukázať, že majú stratégiu neprehrávajúcu). Tú opíšeme a potom sa pozeráme na druhého hráča a snažíme sa zistiť, či neexistuje ťah, niečo čím by to mohol prvému hráčovi prekaziť.
Vyhrávajúcu stratégiu má v tomto prípade prvý hráč (nemusí to tak byť vždy), čiže Pierre. Jedna z možných stretégií je nasledovná:
Prvý ťah
Pierre si v prvom ťahu zoberie číslo 5.
Druhý ťah
Pierre si v druhom ťahu zoberie číslo 7.
Tu sa musíme zaraziť. Môže si vždy Pierre zobrať v druhom ťahu číslo 7? Stratégia je návod, ktorý nám hovorí, čo má hráč pre ktorého stratégiu opisujeme robiť v každej hernej situácii do ktorej sa vie dostať. Ak by si Mária zobrala vo svojom ťahu číslo 7, tak je Pierre bezradný. Musíme mu povedať, čo má robiť.
Pokiaľ si Mária zobrala číslo 7, tak si Pierre zoberie číslo 3.
Vieme sa rýchlo zamyslieť, či si Pierre číslo 3 zobrať môže, no určite áno, keďže on má 5 a v tomto prípade má Mária 7. Trojka je voľná.
Máme teda dva prípady, ktoré si musíme rozobrať.
Tretí ťah
Pierre má čísla 5 a 7. Ak si zoberie hociktoré z čísel 3,6 a 9, tak vyhral. Mária však zatiaľ mala iba dva ťahy, takže Pierrovi aspoň jedno z týchto čísiel ostáva a vie si ho zobrať a tým vyhrať.
Ostáva rozobrať druhý prípad.
Pierre má čísla 5 a 3. Ak si zoberie hociktoré z čísel 1,4 a 7, tak vyhral. Mária však rovnako ako v predchádzajúcom prípade mala zatiaľ iba dva ťahy, takže Pierre vie aj v tomto prípade vyhrať.
Týmto sme ukázali, že nech Mária bude robiť, čokoľvek, tak Pierre po troch ťahoch vyhrá. Ostáva otázka, či by Mária nemohla vyhrať skôr? Tu je to jasné, no ak by to Pierrovi mala trvať výhra napríklad štyri ťahy, už to je legitímna otázka.
Takže nakoniec poznamenajme, že Márii sa nemôže podariť skôr vytvoriť aritmetickú postupnosť o dĺžke 3 ako Pierrovi. Kým sa Mária dostane ku svojmu tretiemu ťahu, tak Pierre vyhrá.
Takto by teda vedelo vyzerať úplne správne riešenie bez zbytočných poznámok:
Vyhrávajúcu stratégiu má prvý hráč, čiže Pierre. Jedna z možných stretégií je nasledovná:
Prvý ťah
Pierre si v prvom ťahu zoberie číslo 5.
Druhý ťah
- Pokiaľ je voľné číslo 7, tak si ho Pierre zoberie.
- Pokiaľ si Mária zobrala číslo 7, tak si Pierre zoberie číslo 3.
Tretí ťah
- Pierre má čísla 5 a 7. Ak si zoberie hociktoré z čísel 3,6 a 9, tak vyhral. Mária však zatiaľ mala iba dva ťahy, takže Pierrovi aspoň jedno z týchto čísiel ostáva a vie si ho zobrať a tým vyhrať.
- Pierre má čísla 5 a 3. Ak si zoberie hociktoré z čísel 1,4 a 7, tak vyhral. Mária však rovnako ako v predchádzajúcom prípade mala zatiaľ iba dva ťahy, takže Pierre vie aj v tomto prípade vyhrať.
Nakoniec poznamenajme, že Márii sa nemôže podariť skôr vytvoriť aritmetickú postupnosť o dĺžke 3. Kým sa Mária dostane ku svojmu tretiemu ťahu, tak Pierre vyhrá.
Komentár
Je nutné aby Pierrovi stratégia hovorila, čo má robiť ak Mária spraví čokoľvek. Čo má Pierre spraviť, ak si Mária zoberie práve 4? Občas s tým je pri niektorých aj dobrých riešeniach problém. Často ostávajú okrajové prípady, ktoré riešenie neošetruje. Riešenia často používajú argument, že pre druhého hráča je niečo najlepšie. Napríklad v našom riešení by sme mohli povedať, že Mária bude blokovať čísla 3,6 a 9 takže si zoberie dve z nich a ani to nebude stačiť. Tu je to relatívne jasné, no ako vieme, že blokovanie je to najlepšie čo môže spraviť, ak to nevedie ani k remíze? Neexistujú ťahy, ktoré by k výhre viedli, napríklad, to že si Mária zoberie 2? To musí byť z riešenia jasné.