8. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Maťko navštívil novootvorenú galériu moderného umenia. Jedno z diel bol zaujímavý obraz, ktorí Maťka tak zaujal, že si ho hneď prekreslil do svojho zošita. Keďže galériu onedlho zatvárali, stihol si Maťko obkresliť iba jeho rám. Doma zistil, že ten rám je v tvare rovnobežníka. Rovnobežník si pomenoval ABCD. Potom si zvolil body K, L, M a N, ležiace na stranách rovnobežníka ABCD tak, že pomer úsečiek AK:AB je rovnaký ako pomer BL:BC a ten je taký istý ako pomer CM:CD a ten je zase rovnaký ako pomer DN:DA. Potom si zvolil ľubovoľný bod vnútri rovnobežníka ABCD, pomenoval si ho I a spojil ho s bodmi K, L, M a N. Takto vznikli štyri štvoruholníky. Maťko začal počítať ich obsahy, ale bolo už veľa hodín a bol unavený, preto nestihol vypočítať všetky obsahy. To, čo stihol vypočítať, je vidieť na obrázku. Pomôžte Maťkovi a vypočítajte obsah posledného štvoruholníka. (Pozn.: Obrázok je len ilustračný.)

Vzorové riešenie

Opravovali: mišo
Na začiatok si dokreslíme úsečky spájajúce bod I s vrcholmi rovnobežníka ABCD, čím dostaneme trojuholníky, ktorých obsah zrátame ľahšie ako priamo počítať obsah štvoruholníkov. Označme si a = \left| AB\right| = \left| CD\right|,\, b = \left| BC\right| = \left| AD\right| a x = \dfrac{\left| AK\right|}{\left| AB\right|} = \dfrac{\left| BL\right|}{\left| BC\right|} = \dfrac{\left| CM\right|}{\left| CD\right|} = \dfrac{\left| DN\right|}{\left| DA\right|}.
Označme ďalej výšku rovnobežníka na stranu AB ako v a výšku na AB v ABI~v_1 a výšku na CD v CDI~v_2. Platí, že v = v_1 + v_2.

Pozrime sa na obsahy trojuholníkov ABI,\,CDI. Tie vieme vyjadriť ako \frac{1}{2}\cdot av_1 a \frac{1}{2}\cdot av_2. Ich súčet teda bude:
\frac{1}{2}\cdot av_1 + \frac{1}{2}\cdot av_2 = \frac{1}{2}\cdot a\cdot \left(v_1+v_2\right) = \frac{1}{2}\cdot a\cdot v = \frac{1}{2}\cdot S_{ABCD}.
Keďže obsahy trojuholníkov ABI,\,CDI tvoria dokopy polovicu obsahu zadaného rovnobežníka, obsahy BCI,\,DAI budú dokopy tvoriť zvyšnú polovicu obsahu. Platí teda:
S_{ABI}+S_{CDI}=S_{BCI}+S_{DAI}
Vyjadrime si teraz dĺžky úsečiek \left| AK\right|,\, \left| BL\right|,\, \left| CM\right|,\, \left| DN\right|.
\begin{aligned} x = \dfrac{\left| AK\right|}{a} &\Rightarrow \left| AK\right| = ax\\ x = \dfrac{\left| BL\right|}{b} &\Rightarrow \left| BL\right| = bx\\ x = \dfrac{\left| CM\right|}{a} &\Rightarrow \left| CM\right| = ax\\ x = \dfrac{\left| DN\right|}{b} &\Rightarrow \left| DN\right| = bx\\ \end{aligned}

Prejdime na trojuholníky ABI a AKI. Výšku v_1 majú spoločnú, ich strany sú a a ax. Obsah AKI teda vyjadríme nasledovne:
S_{AKI} = \dfrac{1}{2}\cdot ax\cdot v_1 = x\cdot \dfrac{1}{2}\cdot av_1 = x\cdot S_{ABI}
Podobne vieme dokázať aj S_{BLI} = x\cdot S_{BCI},\,S_{CMI} = x\cdot S_{CDI},\,S_{DNI} = x\cdot S_{DAI}.
Ďalej si vieme všimnúť, že obsah trojuholníka KBI je rozdielom S_{ABI} - S_{AKI}.
S_{ABI} - x\cdot S_{ABI} = \left(1-x\right)\cdot S_{ABI}
Opäť vieme rovnakým spôsobom vyjadriť obsahy S_{LCI} = \left(1-x\right) \cdot S_{BCI},\, S_{MDI} = \left(1-x\right) \cdot S_{CDI},\, S_{NAI} = \left(1-x\right)\cdot S_{DAI}

Vyššie sme ukázali:
\begin{aligned} S_{ABI}+S_{CDI}&=S_{BCI}+S_{DAI}~~~/\cdot x\\ x\cdot S_{ABI} + x\cdot S_{CDI} &= x\cdot S_{BCI} + x\cdot S_{DAI}\\ S_{AKI}+S_{CMI}&=S_{BLI}+S_{DNI} \end{aligned}
Ak tú istú rovnicu vynásobíme \left(1-x\right) dostaneme:
\begin{aligned} \left(1-x\right)\cdot S_{ABI} + \left(1-x\right)\cdot S_{CDI} &= \left(1-x\right)\cdot S_{BCI} + \left(1-x\right)\cdot S_{DAI}\\ S_{KBI}+S_{MDI}&=S_{LCI}+S_{NAI} \end{aligned}

Vráťme sa k štvoruholníkom zo zadania. Ich obsahy vieme zapísať pomocou trojuholníkov, na ktoré sú rozdelené nasledovne:
S_{KBLI} = 6 = S_{KBI} + S_{BLI}\\ S_{LCMI} = 8 = S_{LCI} + S_{CMI}\\ S_{MDNI} = 5 = S_{MDI} + S_{DNI}\\ S_{NAKI} =~? = S_{NAI} + S_{AKI}\\
Pozrime sa teraz na súčet obsahov protiľahlých štvrouholníkov s obsahmi 5,\,6.
6 + 5 = \left(S_{KBI} + S_{BLI}\right) + \left(S_{MDI} + S_{DNI}\right) = \left(S_{KBI} + S_{MDI}\right) + \left(S_{BLI} + S_{DNI}\right) =\\ = \left(S_{LCI} + S_{NAI}\right) + \left(S_{AKI} + S_{CMI}\right) = \left(S_{LCI} + S_{CMI}\right) + \left(S_{NAI} + S_{AKI}\right) = 8 + ?

Vidíme teda, že 5 + 6 = 8 + ?, z čoho vypočítame ? = 3.
Obsah posledného švoruholníka je 3.