Odporúčaný článok

Riešky výlet - Ahojte Rieškari, jar je v plnom prúde, vonku je pekne a my sa chystáme na výlet! Zoberte batohy, hry, frisbee, kamarátov a hlavne dobrú náladu a poďte sa s nami … Prejsť na článok

×
Milí rodičia, radi by sme Vám dali do pozornosti anketu pre Vás. Veľmi by nám pomohlo ak ju vyplníte.

9. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Dokážte, že neexistuje štvorica reálnych čísel a, b, c, d, pre ktoré platí:

a^3+c^3 = 2 \\ a^2b+c^2d = 0 \\ b^3+d^3 = 2 \\ ab^2+ cd^2 = -5

Vzorové riešenie

Opravovali: katka_gersova

Aby sme mohli k rovniciam rozumne referovať, označíme si ich:

  • (1) a^3 + c^3 = 2
  • (2) a^2b + c^2d = 0
  • (3) b^3 + d^3 = 2
  • (4) ab^2 + cd^2 = -5

Dokazovať, že niečo nemá riešenie je pomerne náročné. Preto sa oplatí začať nejakými pozorovaniami.

Poďme sa najprv pozrieť na rovnice (2) a (4). Ľavé strany sú si podobné, no rovnica (2) má na pravej strane 0. To znamená, že buď sa budú oba členy rovnať 0, alebo ani jeden. Bude teda platiť jedna z dvoch možností:

  • a^2b=0 a zároveň c^2d=0
  • a^2b \neq 0 a zároveň c^2d \neq 0

Ak by platila prvá možnosť, potom by nutne platilo aj:

  • ab^2 = 0 a zároveň cd^2 = 0

A teda by rovnica (4) neplatila. To znamená, že žiadne z čísel a, b, c, d nebude 0, keďže na nulový súčin stačí, aby bolo jedno z čísel 0.

Ak žiadne z čísel a, b, c, d nie je 0, znamená to, že v rovnici (2) bude jeden člen kladný a druhý záporný. Keďže štvorec čísla (štvorec nazývame keď je číslo na druhú) je vždy kladný, potom z rovnice (2) vyplýva, že jedno z čísel b a d je kladné a druhé záporné.

Takéto počiatočné pozorovania sú super, lebo si na rovnice trošku zvykneme a všimneme si, že ako fungujú.

Pozrime sa teraz na rovnicu (1): a^3 + c^3 = 2 a^3 = -c^3 + 2 A teda a^3 > -c^3, lebo k c^3 ešte musíme pridať 2, aby to bolo a^3. Keďže nepárne mocniny môžeme v nerovniciach umocňovať, dostaneme:

(5) a > -c

Analogickými úpravami dostaneme z rovnice (3):

(6) b > -d

Do tejto chvíle sme nedospeli k žiadnemu sporu a vyzerá to tak, že už z rovníc v zadaní toho nevieme moc veľa vyčarovať. Na rad prichádza trik. Skúsený algebraik v rovniciach zo zadania spozná známy rozklad súčinu: (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3b^2a+b^3 A podobne aj pre c a d: (c+d)^3 = c^3 + 3c^2d + 3d^2c + d^3 No a samozrejme, keď už takéto niečo platí, bude pravdepodobne existovať spôsob, ako to budeme vedieť v riešení využiť.

Sčítajme teda tieto rovnice a dosaďme hodnoty zo zadania:

(a+b)^3 + (c+d)^3 = \\ = a^3 + c^3 + b^3 + d^3 + 3(a^2b + c^2d + ab^2 + cd^2) = \\ = 2+2+3(0+(-5)) = -11 \\

A teda:

(a+b)^3 + (c+d)^3 = -11 \\ (a+b)^3 = -(c+d)^3 -11 \\ (a+b)^3 < -(c+d)^3 \\ a + b < -c-d \\

Ak sa pozrieme kúsok vyššie na nerovnice, ktoré sme si odvodili len zo zadania:

  • (5) a > -c
  • (6) b > -d

A sčítame ich:

a+b > -c-d

Dostaneme spor. Z toho teda vyplýva, že rovnice naozaj nemajú žiadne riešenie.