6. príklad - Vzorové riešenie

Keďže v každom z ôsmich stĺpcov musí byť súčet čísel rovnaký, súčet všetkých čísel v tabuľke musí byť násobkom 8​. Rovnako zo zadania vieme, že v dolnom riadku je súčet čísel dvojnásobok horného riadku. Preto ak je súčet v dolnom riadku je rovný nejakému číslu X​, v dolnom riadku bude súčet čísel 2 \cdot X​. Z toho vyplýva, že celkový súčet čísel v tabuľke je 2\cdot X+X=3\cdot X​, teda násobok 3​. Súčet čísel musí byť násobok troch aj ôsmich, čo je iba v prípade, že je aj násobkom 24​ (to vďaka tomu, že 3​ a 8​ nemajú spoločného deliteľa, teda nevieme nejakým menším násobkom splniť obe podmienky).

Tabuľka má 2\cdot 8​, teda 16 políčok. My však dopĺňame čísla od 1​ do 17​, ktorých je 17​. Z toho vyplýva že musíme 1​ číslo vynechať. Celkový súčet čísel v tabuľke bude teda rovný súčtu všetkých čisel od 1​ do 17​ (to je 153​) bez jedného čísla. To môže byť najmenej 153-17=136​ (ak nepoužijeme 17​-ku) a maximálne 153-1=152​ (ak nepoužijeme čislo 1​). Jediné z čísel medzi 136​ a 152​, ktoré je násobkom 24​, je 144​. Číslo ktoré odčítame od 153​ aby sme dostali 144​ je 9​, preto práve číslo 9​ nepoužijeme. Iné násobky 24 v danom rozmedzí určite nebudú, lebo najbližšie násobky 24 sú 120 a 168.

Keďže máme osem stĺpcov a v každom má byť súčet čísel rovnaký, tak tento súčet vieme vypočítať ako \frac{144}8 = 18​. Všimnime si, že každé z našich zostávajúcich čísiel dáva súčet 18​ s práve jedným iným číslom.

18 = 17 + 1 = 16 + 2 = 15 + 3 = 14 + 4 = 13 + 5 = 12 + 6 = 11 + 7 = 10 + 8​

Vieme teda, že keď je jedno z čísel v tabuľke, tak jeho dvojica bude určite v tom istom stĺpci.

Poďme teda vyskúšať nejaké rozloženie čísel. V dolnom riadku má byť súčet vyšší, dajme tam teda vždy väčšie číslo z dvojice (ako hovorí zadanie, je jedno ktorý stĺpec patrí ktorej dvojici):

Teraz máme v hornom riadku súčet 36 a v dolnom 108. My ale vieme, že v dolnom riadku má byť súčet dvakrát väčší ako v hornom riadku, pričom spolu majú súčet 144​. Z už spomínanej rovnice X + 2\cdot X = 3 \cdot X = 144 vydelením tromi vypočítame X=48​

Čiže súčet v hornom riadku má byť 48​ a v dolnom 96​. Naša dočasná tabuľka sa od tohto líši o 12​ (48-36​ v hornom). Potrebujeme teda niektoré čísla z horného riadku vymeniť za väčšie. To môžeme urobiť vrámci stĺpca a nijak inak, lebo dvojice v stĺpcoch musia zostať spolu.

Môžeme si pod tabuľku napísať, o koľko sa zmení súčet keď čísla v konkrétnom stĺpci vymeníme:

My potrebujeme zmeniť súčet o 12​, čo vieme poskladať z týchto čísel (samozrejme sa nemôžu opakovať) len nasledovnými spôsobmi:

12 = 10 + 2 = 8 + 4 = 6 + 4 + 2​

Iné spôsoby nie sú, o čom sa môžeme presvedčiť postupne podľa počtu výmen.

Pri jednej výmene to musí byť práve 12​.

Pri dvoch výmenách nemôžeme použiť zmeny väčšie ako 10​, a 6​-ka by musela byť použitá s ďalšou 6​-kou, čo nemáme.

Pri troch výmenách bude súčet vždy príliš veľký, okrem prípadu keď použijeme tri najmenšie. Z toho už je jasné, že viac výmen urobiť nemôžeme.

Po zrealizovaní týchto výmen dostávame tieto rozloženia:

​

Prípadne môžeme lubovoľne preusporiadať stĺpce čo nemení odpoveď.

Odpoveď: Sú celkovo 4 spôsoby ako vedúcich rozmiestniť.