Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok
×5. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Vedúci nevedeli, koľko presne má byť účastníkov, ale vedeli, že sa jedná o jedno z čísel tvaru \overline{ABC}, \overline{BAAB}, \overline{ABCBA}. Rozhodli sa, že ich rozdelia do n rovnakých skupín podľa toho, koľko ich je.
- Ak je počet účastníkov v tvare \overline{ABC}, tak ich rozdelia do 9 skupín.
- Ak je počet účastníkov v tvare \overline{BAAB},tak ich rozdelia do 5 skupín.
- A ak je počet účastníkov v tvare \overline{ABCBA}, tak ich rozdelia do 6 skupín.
Pre aké cifry A, B, C je môžné vždy (nezávisle na tvar) účastníkov rozdeliť do skupín vhodnej veľkosti?
Poznámka: \overline{XYZ} znamená číslo zložené z číslic X, Y, Z v tomto poradí za sebou.Vzorové riešenie
Delenie do rovnakých skupín znamená, že čísla zo zadania chcú byť deliteľné bezo zvyšku číslami 5, 6 a 9. Poďme si pripomenúť pravidlá deliteľnosti týchto čísel:
- číslo je deliteľné piatimi, ak sa končí ciframi 0 alebo 5 (takéto je číslo \overline{BAAB}),
- číslo je deliteľné šiestimi, ak je deliteľné dvomi a tromi, čiže musí končiť párnou cifrou a jeho ciferný súčet musí byť deliteľný tromi (takéto je číslo \overline{ABCBA}),
- číslo je deliteľné devatimi, ak je ciferný súčet čísla deliteľný 9 (takéto je číslo \overline{ABC}).
Ďalej vieme, že čísla A a B nemôžu byť 0, keďže sa nimi nejaké číslo začína. Z tohto vyplýva, že keďže číslo \overline{BAAB} je deliteľné 5, tak číslo B = 5. Zároveň pre A platí, že môže byť jedným z čísel 2, 4, 6, 8. V tomto bode nám už prakticky stačí len skúšať jednotlivé možnosti pre číslo A a C. Zoberieme si napríklad A = 2, nájdeme C také, že A+B+C je deliteľné 9 ( čiže C = 2) a následne overíme, či platí, že A+B+C+B+A je deliteľné 3 (v tomto prípade to neplatí, A+B+C+B+A = 16).
Dá sa na to ale ísť aj jednoduchšie, nižšie budem pre prehľadnosť na označenie skutočnosti, že a delí b používať zápis a\mid b. Teda napríklad 3\mid 6 alebo 7 \mid 21.
Zo zadania a pravidiel deliteľnosti teda vyplýva:
3\mid (A+B+C+B+A)
9\mid(A+B+C)
A keďže všetky násobky deviatky sú deliteľné aj trojkou, tak platí:
3\mid(A+B+C),
Tieto výrazy môžeme odčítať, keďže aj pre ich rozdiel bude platiť, že bude deliteľný tromi (ak od násobku trojky odčítam násobok trojky, tak výsledok bude tiež násobkom trojky, podobne ako keď od párneho čísla odpočítam párne číslo, výsledok bude tiež párny). Prečo sa nám vo všeobecnosti môže oplatiť odčítať výrazy? Ak sa niekde veľa premenných opakuje (ako v tomto príklade), odčítaním môžeme dostať niečo jednoduchšie, s čím sa bude lepšie pracovať.
A+B+C+B+A - (A+B+C) = B+A
A+B+C+B+A - A-B-C = B+A
Ak vieme, že B = 5 a 3\mid(B+A), tak A môže byť len 1, 4, alebo 7, keďže násobky trojky, ktoré pripadajú do úvahy sú len 6, 9, 12. No keďže A musí byť párne, jediná možnosť, ktorá vyhovuje bude A = 4. Cifru C si potom už z ciferných súčtov vieme dopočítať celkom jednoducho:
9\mid(A + B + C),
po dosadení A=4 a B=5:
9\mid(9 + C),
čo znamená, že C môže byť len 0 a 9.
Odpoveď: Vyhovujúce cifry sú A = 4, B = 5 a C=\{0, 9\}.
Poznámka: \overline{XYZ} znamená číslo zložené z číslic X, Y, Z v tomto poradí za sebou.