10. príklad - Vzorové riešenie

Riešenie začnime jednoduchým pozorovaním o rokoch rekonštrukcie. Rok 864 má ciferný súčet 18. To však znamená, že je deliteľný 9. Pravidlo deliteľnosti 9 hovorí, že číslo je deliteľné 9 práve vtedy, keď je deliteľný aj jeho ciferný súčet. Keď sme robili rekonštrukciu v roku deliteľnom 9, budeme opäť rekonštruovať v roku deliteľnom 9, lebo sa posunieme presne o ciferný súčet, ktorý je tiež násobkom.

Vidíme teda, že rekonštrukcia mohla prebiehať len v rokoch deliteľných 9. Takže aj ciferné súčty sú násobky 9. O koľko sa teda vieme posunúť medzi rekonštrukciami? O 9, 18 alebo 27 rokov. Na posun o 36 rokov by sme pri štvorcifernom roku potrebovali počkať až do 9999, čo sa nestane.

Poďme teda skúmať, v ktorom roku mohla byť posledná rekonštrukcia. Vieme, že daný rok je deliteľný 9 a že musel byť niekedy za posledných 27 rokov, inak by sa odvtedy udiala ďalšia rekonštrukcia. Možnosti sú teda 1998, 2007 alebo 2016. Ľahko si všimneme, že po 2007 by musela byť ďalšia rekonštrukcia v roku 2016, takže to nie je rok poslednej rekonštrukcie. Aj po 1998 aj 2016 nasleduje rekonštrukcia v 2025. To teda bude odpoveď na otázku b).

Potrebujeme teda vylúčiť jednu z možností 1998 a 2016 na poslednú rekonštrukciu. Tu sa pozrieme trochu viac do histórie. Pred rokom 1899 má iba rok 999 ciferný súčet 27. Medzi rokmi 1000 a 1899 sa teda budeme posúvať buď na nasledujúci násobok 9 alebo jeden násobok preskočíme. Aj 1899 je násobok 9. Buď sa v ňom udiala rekonštrukcia, alebo sme ho preskočili a rekonštrukcia bola v roku 1908. V oboch prípadoch však nastane rekonštrukcia v roku 1899 + 27 = 1926 = 1908 + 18. Po roku 1926 bude nasledovať 1944 potom 1962, 1980 a 1998. To bude teda odpoveď na a).

Odpoveď: Posledná rekonštrukcia bola v roku 1998, najbližšia bude v roku 2025.

Iné riešenie a)

Rovnako ako v predošlom riešení prídeme na to, že nás zaujímajú len násobky 9, a že na rok 2025 sa dostaneme buď z 1998 alebo 2016. Všimnime si teraz, že na rok 2016 vieme prísť len z rokov 2007 alebo 1989. Rok 2007 však nevyhovuje, lebo naň neprídeme ani z 1980, ani z 1989, ani 1998. Rekonštrukcia pred rokom 2016 by tak bola v roku 1989.

Pozrime sa teraz na predchádzajúce roky. Sme v dvadsiatom storočí, takže ciferný súčet je aspoň 1+9=10, takže buď 18 alebo 27. Na súčet 27 však potrebujeme, aby posledné dve cifry boli 8 a 9, takže pred rokom 1989 rekonštruujeme vždy po 18 rokoch. Keďže skáčeme vždy na každý druhý násobok 9, tak ideme buď po párnych alebo nepárnych násobkoch 9. Na rok 1989 sme sa tak museli dostať z nepárneho násobku 9, čo je v dvadsiatom storočí najskôr 1917 (rok 1935 je už príliš neskoro). Z roku 1908 však ideme na 1926, z roku 1899 tiež na 1926 a z roku 1890 len na 1908. Takže ani tadiaľto sa k 2016 nedostaneme, posledná rekonštrukcia tak musela byť v roku 1998.

Komentár

Nájsť riešenie tohto príkladu sa dalo aj tak, že by ste si zaradom od roku 864 vypísali, kedy sa konala rekonštrukcia. Rekonštrukcií bolo niečo cez 80, čo sa vypísať asi aj dá, no manuálne to po Vás skontrolovať je ťažké. Preto do tohto príkladu prehovorilo nové pravidlo o vypisovacích riešeniach. Predsalen cieľom tohto príkladu nebolo overiť, či ovládate sčítanie.

Keďže nie je vždy jasné, koľko vypisovania sa ešte skontrolovať dá, tentokrát za takéto riešenia nejaké body boli. Mnohí z Vás sa pokúsili nejak sa vypisovania zbaviť a viacerí dokázali aspoň jednu otázku vyriešiť bez neho. Stávalo sa však aj to, že ste sa oháňali nejakými pozorovaniami z vypisovania, no bez zdôvodnení to na body nebolo. Naopak, ak ste popri vypisovacom riešení dokázali aj nejaké ďalšie užitočné fakty (napr. deliteľnosť 9), získavali ste body navyše.

Bodovanie

Za pozorovanie o deliteľnosti 9 ste mohli získať 2 body. Za doriešenie každej podotázky a), b) sa dalo získať najviac po 4 bodoch. Ak ste však niektorú z týchto otázok vyriešili vypisovaním, dostali ste za ňu len 1 bod.