Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok
×1. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Vedúci majú čísla 1 až 7. Chcú sa usporiadať do kruhu tak, že medzi vedúcimi so susednými číslami je vždy práve jeden ďalší vedúci. Za susedné čísla považujeme také, ktoré majú rozdiel 1, a 7 je ešte navyše susedná s 1. Ako to majú urobiť?
Čo ak by siedmy vedúci odišiel, vedeli by sa podobne usporiadať aj zvyšní šiesti vedúci? Tentokrát je zase 6 susedná s 1. Ak vedia, ako to majú spraviť? Ak nie, prečo sa to nedá?
Vzorové riešenie
Najprv sa pozrieme na prípad, kedy máme 7 vedúcich. Nakreslíme si sedem miest do kruhu a budeme ich postupne vypĺňať číslami. Dôležité je uvedomiť si, že je jedno kde začneme s vypĺňaním a ktorým číslom začneme. Je to preto, že naše riešenie budeme vždy môcť pootáčať.
Ak má medzi vedúcimi so susednými číslami byť vždy práve jeden ďalší vedúci, musia stáť objedného. Začneme postavením čísla 1, ktoré napíšeme na ľubovoľné miesto. Na jednu stranu objedno miesto napíšeme číslo 2 (po smere hodinových ručičiek od 1), na druhú stranu objedno napíšeme číslo 7 (proti smeru).
Číslo 2 máme teda umiestnené. Číslo 3, už môže byť iba objedno miesto po smere hodinových ručičiek od čísla 2, lebo na druhej strane je číslo 1.
Pre číslo 4 platí podobné ako pre číslo 3. Proti smeru od predchádzajúceho (čísla 2) nemôže byť, lebo tam už je plno, preto musí byť po smere.
Ďalej rovnako ako číslo 4 umiestníme čísla 5 a 6.
Ako posledné musíme overiť, že čísla 6 a 7 sú objedno miesto. Môžme vidieť že sú, takže tým máme prvú časť hotovú.
Podobne skúsime vypĺňať miesta, keď bude vedúcich 6. Umiestníme číslo 1 a objedno miesto susedné čísla 2 a 6. Všimnite si, že čísla 2 a 6 sú tiež objedno vedľa seba, ale tieto čísla nie sú susedné. Tiež nevieme umiestniť číslo 3 (lebo by muselo byť na rovnakom mieste ako 6 alebo 1) a ani žiadne ďalšie číslo. Kebyže začneme inak, skončili by sme v rovnakom probléme - vznikol nám tu cyklus, ktorý nejde cez všetkých 6 miest. Tým pádom pre 6 vedúcich to nie je možné.
Odpoveď:
Siedmich vedúci sa vedia postaviť do kruhu, ale šiesti to nedokážu.
Dodatok
Keďže niektorí ste sa snažili príklad riešiť všeobecne, ďalej si to len pre zaujímavosť ukážeme. Ukážeme, že to ide iba pre nepárne čísla a teda napríklad pre 7 vedúcich, ale pre 6 vedúcich nie.
Majme niekoľko miest v kruhu. Budeme ich postupne vyfarbovať. Budeme robiť niečo veľmi podobné ako predtým, len nebudeme vpisovať konkrétne čísla. Začneme na ľubovoľnom mieste, ktoré vyfarbíme na červeno. Objedno miesto (opäť po smere) vyfarbíme ďalšie miesto zelenou a budeme pokračovať vo vyfarbovaní zelenou až kým sa nebudeme blížiť k červenému miestu. Aby sme mohli pokračovať vo vyfarbovaní, musí sa nám stať, že vyfarbíme zelenou políčko hneď vedľa červeného políčka, teda aby objedno od zeleného bolo voľné.
Aby bol obrázok prehľadný, ďalej budeme pokračovať vo vyfarbovaní modrou, opäť objedno, až sa nám stane, že budeme mať vyfarbené všetky miesta.
Všimnite si dôležitú vlastnosť, vždy po smere od modrého políčka sa nachádza zelené, čo znamená, že ich je rovnako veľa a teda dokopy párne veľa. Máme tu však ešte červené políčko, teda dokopy ich musí byť nepárne veľa. Tým sme ukázali, prečo to ide iba pre nepárny počet vedúcich.