8. príklad - Vzorové riešenie

Kľúč k vyriešeniu príkladu bude v zameraní sa na najväčšie a najmenšie číslo. V každom správne vyplnenom štvorci musí existovať nejaké najväčšie číslo a nejaké najmenšie číslo.

Pozrime sa na to bližšie zápisom. Urobme si tvrdenie, že n je najväčšie číslo. Vieme, že ak je nejaké číslo aritmetickým priemerom dvoch čísel, tak jeho vzdialenosť na číselnej osi od oboch týchto čísel je rovnaká.

V správne vyplnenom štvorci ho teda musíme dostať aritmetickým priemerom jeho susedov, teda n = {\frac {(n-x)+(n+x)} {2}}, pričom (n + x) a (n-x) sú niektorí jeho susedia. Ak je však x iné ako 0, tak buď (n -x) alebo (n +x) budú väčšie ako n​, čo je spor s tvrdením, že n je najväčšie číslo. Takto sme dokázali, že x = 0. Inými slovami, najväčšie číslo v štvorci (n) môžeme dostať len tak, že urobíme aritmetický priemer jeho dvoch susedov, ktorí sú tiež n.

Všimnime si, že rovnaké tvrdenie sa dá dokázať aj pre najmenšie číslo, a to presne takým istým postupom.

V našom štvorci to znamená, že každé najväčšie číslo n musí susediť s aspoň dvoma číslami n, a rovnako každé najmenšie číslo m musí susediť s aspoň dvoma číslami m. 

Takto vieme zistiť, že v každom štvorci budú aspoň tri najväčšie čísla n. Vieme našu podmienku splniť pre všetky tri? Nie, pretože v štvorčekovej sieti platí, že pre ľubovoľné políčko nie sú žiadni jeho susedia navzájom susední. Teda, mohli by sme podmienku splniť pre jedno políčko s n, avšak jeho susedné políčka s n​ nedokážu byť navzájom susedné.

Čo ak by sme jedno políčko s n pridali? Potom by sme ich už vedeli usporiadať, aby bola splnená podmienka, teda aby každé n susedilo s dvoma inými n, a to takto:

Čo sme si teraz ukázali? Tento náš postup nám dokázal, že pre ľubovoľne správne vyplnený štvorec musí byť počet políčok s najväčším číslom aspoň 4. Rovnaký postup vieme aplikovať pre najmenšie číslo, a teda nám vyjde, že v ľubovoľnom správne vyplnenom štvorci musia byť aspoň 4 políčka s najväčším číslom n a aspoň 4 políčka s najmenším číslom m.

Vieme teda, že aspoň 8​ políčok bude zabratých týmito číslami. Keďže sa pýtame na najväčší počet rôznych čísel v štvorci, tak v ak by sa nám zvyšných 56​ políčok podarilo vyplniť navzájom rôznymi číslami, určite to bude najlepšie riešenie. Dá sa to?

Vyznačené políčka sú políčka s najväčším číslom a políčka s najmenším číslom. Zvyšné políčka sú všetky rôzne, a teda sme našli určite najlepšie riešenie. V tomto riešení máme 58 rôznych čísel. 

Nejaká konkrétna konštrukcia sa dala nájsť tak že sme nakreslili ťah, ktorý prechádzal všetkými políčkami okrem minima a maxima tak, že začínal políčkom s najmenším číslom a končil políčkom s najväčším číslom. každé políčko tohto ťahu malo číslo vždy o 1 väčšie ako predošlé políčko. Týmto sme zariadili žepre každé políčko s číslom x​ platí, že má určite dvoch susedov ktorí majú čísla x-1 a x+1 a ich priemer teda je x​​