8. príklad - Vzorové riešenie

V tomto príklade bolo viac možných postupov a druhov riešení, začnem však tým najbežnejším a intuitívnym, a to takým, že všetky kružnice sa dotýkajú zvonku.

Čo sa stane, ak sa všetky kružnice dotýkajú zvonku?
Keď sa 2 kružnice dotýkajú zvonku, tak súčet ich polomerov sa rovná dĺžke úsečky spojujúcej ich stredy. To znamená, že r_A + r_B = |AB| = a, r_B + r_C = |BC| = a, r_C + r_D = |CD| = a, r_D + r_A = |AD| = a​.

Vieme, že r_B = 5. Okrem toho vieme, že všetky z týchto rovníc sa aj navzájom rovnajú, lebo sú všetky rovné a​ (strane kosoštvorca).

r_B + r_C = r_C + r_D​, odčítame r_C​, a dostaneme, že r_B = r_D​, a teda r_D = 5​.

Taktiež nám vyjde, že r_A = r_C​, vypočítať sa to dá podobným spôsobom. No, ale čo s tým? Keďže nám vyjde, že kružnica k_B​ a kružnica k_D​ sa dotýkajú, tak vieme, že vzdialenosť ich stredov je r_B + r_D = 5 + 5 = 10​.

Tu si uvedomíme ďalšiu dôležitú vlastnosť kosoštvorca. Jeho uhlopriečky sú na seba kolmé, a rozpoľujú sa, teda jedna delí druhú na dve polovice. Keď si ich takto nakreslíme, môžeme si všimnúť, že kosoštvorec sa nám pekne rozdelil na 4 pravouhlé trojuholníky.

Označme si bod "v strede" nášho kosoštvorca X​. Poznáme dĺžky |XB|​ a |XD|​, lebo v tomto bode sa nám pretínajú 2 rovnaké kružnice, a teda obe úsečky budú mať dĺžku 5​. Poznáme taktiež druhú uhlopriečku, a to zo zadania. |AC| = 24​, a vieme, že X​ túto uhlopriečku rozpoľuje. Vypočítame si, že |AX| = |CX| = 12​.

Teraz nám tu vznikli pekné pravouhlé trojuholníky, ktoré vieme vypočítať pomocou pytagorovej vety, lebo poznáme ich 2 strany.

|XB|^2 + |XC|^2 = a^2, 25 + 144 = a^2, 169 = a^2 Strany kosoštvorca teda majú dĺžku \sqrt{169} , teda 13​. Z predtým určených rovníc vieme, že r_A = r_C​, a že r_C + r_D = |CD|​. Za |CD|​ si dosadíme 13​, za r_D​ si dosadíme 5​, a vypočítame rovnicu pre r_C​. r_C + 5 = 13, r_C = 8. r_A = r_C, takže aj r_A = 8.​

Túto možnosť počítala väčšina z vás. Avšak málo z vás pomyslelo na to, že kružnica sa môže dotýkať aj z vnútornej strany.

Akú vzdialenosť majú stredy kružníc, ak sa dotýkajú zvnútra? Je to r_A - r_B​. Poďme sa pozrieť na to, ktoré kružnice sa môžu dotýkať zvnútra, pričom budeme dbať na pravidlo, že pokiaľ sa chcú 2​ kružnice dotýkať nejakej tretej zvnútra, musia byť stredy týchto troch kružníc na priamke.

a) Zvnútra sa dotýka kružnica k_B
Vieme, že kružnica k_B sa bude určite všetkých ostatných kružníc dotýkať zvonku, a to preto, že vieme jej polomer a to 5​, a tiež vieme vzdialenosť stredov k_A​ a k_C​, 24​. Toto dotyk zvnútra vylučuje.

b) Zvnútra sa dotýka kružnica k_D
Toto je platná možnosť. Ak sa dotýka zvnútra k_D, nemôže sa žiadna iná, lebo ak sa 3 kružnice navzájom dotýkajú zvnútra, ich stredy ležia na priamke a žiadne tri z A, B, C, D neležia na priamke.​

c) Zvnútra sa dotýka kružnica k_C​ alebo kružnica kA​
Kružnice k_C​ a k_A​ sa však môžu pretínať navzájom, pričom vieme, že ak sa nejaká z nich dotýka zvnútra, tak sa dotýka zvnútra aj kružnice k_B​, aj kružnice k_D, kôli vyššie spomenutým obmedzeniam.
Keďže sa môžu pretínať, môžu sa zvnútra dotýkať buď obe, alebo aj len jedna.

Poďme sa pozrieť na možnosť c).
Na začiatku sme si povedali tieto rovnice: rA + rB = |AB| = a, r_B + r_C = |BC| = a, r_C + r_D = |CD| = a, r_D + r_A = |AD| = a.​

Teraz si vymeňme niektoré za rozdiel podľa toho, kde sa kružnica dotýka zvnútra.

Ak sa zvnútra dotýkajú aj k_A​ aj k_C​:
​r_A - r_B = a,\ r_C - r_B = a,\ r_C - r_D = a,\ r_A - r_D = a​​
​r_A - r_B = r_A - r_D,\ -r_B = -r_D,\ r_B = 5 = r_D ​​

Ak sa zvnútra dotýka len jedna z nich (je to rovnaké pre obe, písmená B​ a C​ sú zameniteľné):
​r_A - r_B = a,\ r_C + r_B = a,\ r_C + r_D = a,\ r_A - r_D = a​​
​r_A - r_B = r_A - r_D,\ -r_B = -r_D,\ r_B = 5 = r_D​​

V každom prípade nám vychádza, že r_B = r_D​ a to sa rovná 5​. Tak vieme uplatniť výpočet pytagorovou vetou, ktorý sme použili predtým. Tam nám vyšlo, že strana kosoštvorca sa rovná 13​. To teda platí aj tu. Polomer kružníc si vyrátame z rovníc:

a) Zvnútra sa dotýka iba jedna: r_A - r_B = 13​, teda r_A - 5 = 13, r_A = 18​ a r_C = 8 (to sme vyrátali ako prvé).

b) Zvnútra sa dotýkajú obe: r_A = 18, r_C = 18​, to sme vyrátali v predošlej možnosti, tu to len uplatníme pre obe.

​Čo sa však stane, ak sa zvnútra dotýka kružnica k_D​?

Vieme už, že v tomto prípade sa ostatné kružnice budú navzájom dotýkať zvonku.

Spravme si znova rovnice:
r_A + r_B = |AB| = a, r_B + r_C = |BC| = a, r_D - r_C = |CD| = a, r_D - r_A = |AD| = a.

Tento krát k tomu pristúpime inak. Vyjadríme si r_D pomocou iných polomerov, a to takto: Vieme, že od bodu C​ do bodu D​ je vzdialenosť rovnaká ako z C​ do B​, a teda ju môžeme zapísať ako r_B + r_C​, a potom túto čiaru predĺžime, a máme polomer k_D​.
2 \cdot r_C + r_B = r_D​, teda 2 \cdot r_C + 5 = k_D.

Teraz sa pozrieme na to, aká vzdialenosť je medzi bodom B​ a D​. Je tam vzdialenosť r_D - r_B​, a teda r_D - 5​. r_D​ sme si však vyjadrili ako 2 \cdot r_C + 5​, tak môžeme teda vzdialenosť medzi B​ a D​ vyjadriť ako 2 \cdot r_C + 5 - 5= 2 \cdot r_C.

Teraz si všimnime, že trojuholník XCB, ktorý nám vznikol, sme Pytagorovou vetou počítali už predtým. Vieme, že BD​ nám rozdeľuje uhlopriečku AC​ na polovicu, a tak vieme, že |XC| = 12​.
Uhlopriečka AC​ taktiež rozdeľuje BD​ na polovicu, takže |XB| = 2 \cdot r_C/2 = r_C. Nakoniec, ako sme si na začiatku vyjadrili, |AC|​ sa rovná r_C + r_B = r_C + 5​. Tak, máme 3​ strany, 1​ neznámu, tak to všetko hoďme do rovnice, ktorá vieme že platí: tej pytagorovskej.

​r_C^2 + 12^2 = (r_C + 5)^2​​

​r_C^2 + 144 = r_C^2 + 10r_C + 25 /-25 - r_C^2​​

​119 = 10r_C​​

​11{,}9 = r_C​​

S touto informáciou vieme vypočítať aj iné polomery kružníc s rovnicami, ktoré sme si určili.
​r_A = r_C = 11{,}9​​
​r_D = 2r_C + 5 = 2 \cdot 11{,}9 + 5 = 28{,}8​​

Komentár

Veľa z vás akosi zabudlo na možnosť, že sa kružnice môžu dotýkať zvnútra. Tiež sa nám nepáčilo, ako veľa ľudí len tak "lenivo" zdôvodnilo, prečo bude mať v prvej možnosti kružnica D​ polomer 5. Za to sme strhli najviac bodov.

Bodovanie

Keďže veľa ľudí neurobilo možnosť s dotykom zvnútra, rozhodli sme sa za to strhávať len po jednom bode.