4. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Koľko najmenej vriec musí ešte zo svojich vreciek bez pozerania sa vytiahnuť, aby malo istotu, že bude mať dve vrecia s rovnakým číslom, ak videlo na začiatku vrecia s číslami 262 a 663?
A koľko ich bude musieť ešte vytiahnuť ak vrecia mali čísla 101 a 102? Koľko z nich môže v tomto prípade vytiahnuť z ľavého vrecka, aby stále vytiahlo dokopy minimálny počet vriec, ale ostala mu istota, že dve vrecia budú mať rovnaké číslo? Nájdite všetky možnosti.
Poznámka: Číslo je deliteľné tromi práve vtedy, ak je aj jeho ciferný súčet deliteľný tromi.
Vzorové riešenie
Najprv zistíme, koľko vriec je v pravom vrecku, koľko vriec je v ľavom vrecku a koľko je vriec takých, že ich číslo sa nachádza v obidvoch vreckách.
Ľavé vrecko
Všetkých trojciferných čísel je 900 (999 číslel menších ako 1000, no 99 z nich má len jednu alebo dve cifry). Keďže každé tretie číslo z nich je deliteľné tromi teda bude 900 \div 3 = 300 čísel, ktoré sú trojciferné aj deliteľné tromi. V ľavom vrecku je teda 300 vriec.
Pravé vrecko
V pravom vrecku sú všetky trojciferné čísla, ktoré majú práve dve rovnaké cifry. Tie si označme A, a zvyšnú cifru si označme B. Potom môže číslo v pravom vrecku byť AAB, ABA alebo BAA. Vo všetkých troch prípadoch na mieste stoviek môžu byť cifry od 1 po 9 (nula nemôže byť na začiatku trociferného čísla) a druhá cifra (B, alebo v treťom prípade A) môže byť od 0 po 9, okrem tej z nich, ktorá je už na mieste stoviek, pretože nemôžu byť všetky tri cifry rovnaké. Dokopy vieme teda pre každý z troch prípadov vybrať 9 rôznych cifier na začiatok, a potom ešte raz 9 rôznych cifier. To znamená, že celkovo je 3 \cdot 9 \cdot 9 = 243 vriec v pravom vrecku.
Obe vrecká
Na to aby sa vrece nachádzalo v oboch vreckách musí byť deliteľné tromi a mať práve dve rovnaké cifry. Pre každú dvojicu rovnakých cifier teda skúsime doplniť tretiu cifru tak, aby ich ciferný súčet bol deliteľný tromi, čo zaručí že aj celé číslo bude deliteľné tromi:
| 11 | 4,7 |
|---|---|
| 22 | 5,8 |
| 33 | 0,6,9 |
| 44 | 1,7 |
| 55 | 2,8 |
| 66 | 0,3,9 |
| 77 | 1,4 |
| 88 | 2,5 |
| 99 | 0,3,6 |
| 00 | 3,6,9 |
Dokopy teda máme 24 kombinácii, pričom v každej môžeme tretiu cifru umiestniť na jedno z troch miest. Výnimkou sú čísla s dvomi nulami, kde musí byť pridaná cifra na začiatku, a čísla s jednou nulou, ktorá môže ísť iba na dve miesta. Máme teda dokopy 18 \cdot 3+3 \cdot 2+3 \cdot 1 = 63 čísel ktoré sú v oboch vreckách.
Prvý prípad
V prvom prípade máme vybrané vrecia s číslami 262 a 663. Keďže 262 nie je deliteľné tromi, tak nemôže byť z ľavého vrecka a teda musí byť z pravého vrecka. 663 je z iného vrecka a teda musí byť z ľavého. 663 má aj dve rovnaké cifry, teda ho môžeme vytiahnuť aj z pravého vrecka.
Keď chceme mať istotu, že vytiahneme 663 z pravého vrecka, tak musíme vytiahnuť všetky čísla, lebo 663 by sme mohli vytiahnuť ako posledné. Čiže spolu vytiahneme 242 čísel, lebo na začiatku už bolo jedno, 262, vytiahnuté. Ak by sme chceli použiť aj ľavé vrecko, museli by sme vytiahnuť všetky čísla ktoré sa nenachádzajú v pravom, aby sme potom mali istotu že vytiahneme aj nejaké užitočné. Stále to ale platí aj pre pravé vrecko, pretože z neho ešte spoločné číslo nemáme. Dokopy by to bolo 300 - 63 = 237 a 242 - 63 = 179 vytiahnutí, čo je jednoznačne viac ako naše riešenie s 242 vytiahnutiami.
Druhý prípad
V druhom prípade máme vybrané vrecia s číslami 101 a 102. 101 má dve rovnaké cifry a nie je deliteľné tromi, takže je z pravého vrecka a nemôžem ho vytiahnuť z ľavého vrecka. 102 nemá dve rovnaké cifry ale je deliteľné tromi takže je z ľavého vrecka a nemôžem ho vytiahnuť z pravého vrecka. V pravom vrecku ostáva 242 čísel a v ľavom vrecku ostáva 299 čísel.
Aby sme mali istotu, že vytiahneme z pravého vrecka číslo, ktoré sa nachádza aj v ľavom vrecku, musíme rátať s tým, že sme najskôr vytiahli všetky čísla ktoré sa nachádzajú iba v pravom vrecku. To isté platí opačne pre ľavé vrecko. Z pravého vrecka musíme vytiahnuť ešte 242 - 63 = 179 a z ľavého 299 - 63 = 236 čísel, aby sme mali istotu, že ďalšie vytiahneme nejaké číslo, ktoré sa nachádza v oboch vreckách. Teraz máme rovnakých 63 čísel v oboch vreckách.
Aby sme mali istotu, že vytiahneme dve rovnaké čísla, musíme vytiahnuť aspoň o jedno číslo viac ako je počet rôznych čísel, inak by sme mohli každé číslo vytiahnuť práve raz, bez ohľadu na to z ktorého by sme ťahali, keďže všetky sú v oboch. Takže ešte musíme vytiahnuť ešte 64 čísel. Tieto čísla môžeme vyťahovať z vriec ľubovoľne, lebo stále bude platiť, že 64-té číslo už musí byť rovnaké ako niektoré pred tým, keďže rôzne čísla sa už minuli.. Dokopy sme vytiahli 179 + 236 + 64 = 479 čísel. Z ľavého vrecka mohlo byť 236 + (1 až 63) = 236, 237,…,299.
Odpoveď: V prvom prípade musí vybrať aspoň 242 vriec. V druhom ich musí vybrať 479, pričom z ľavého vreca môže vytiahnuť 237 až 299.
Komentár
Väčšina riešiteľov šikovne zvládlo vysvetliť, akou stratégiou treba čísla z vriec vyberať, takže aj v prípade, že došlo k chybe pri zisťovaní počtov čísel vo vreciach, získali slušný počet bodov.
Pri tomto počítaní jednotlivých skupín čísel sa však často stávalo, že sme nevedeli skontrolovať ako riešiteľ skúšal všetky možnosti pre dané čísla, pretože ich nevypísal, čo určite treba robiť. Vynechať pri vypisovaní môžeme nanajvýš jednokrokové očividné operácie ako sčítavanie, napríklad v tomto vzorovom riešení v tabuľke, kde nevypisujeme súčty ktoré majú byť deiteľné tromi.
Pri počte čísel v oboch vreciach sa tiež mohlo stať, že riešiteľovi vyšiel správny výsledok, no nezarátal tri čísla s dvomi nulami, ale zarátal ostatné čísla s nulou na začiatku.
Náročná sa však ukázala hlavne tretia podotázka, na ktorú pomerne veľa riešiteľov vôbec neodpovedalo, a po prvom nájdenom riešení druhej možnosti už nezisťovali, či nemôžeme vyťahovať inak, aby sme dosiahli rovnaký počet 479.