2. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6

Zadanie

Špagety sa majú variť \overline{ABC} sekúnd, kde A, B a C sú nenulové cifry trojciferného čísla, pre ktoré platí, že \overline{ABC} = A! + B! + C!. Nájdite všetky trojice cifier A, B, C, ktoré spĺňajú túto rovnicu.
Poznámka: Značenie n! znamená súčin všetkých čísel od 1 po n. Napríklad: 4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24

Vzorové riešenie

Opravovali: Red, merlin

Najprv sa pozrime na to, ktoré cifry môžeme v našom čísle \overline{ABC} použiť:

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

5! = 120

6! = 720

7! = 5040

8! = 40360

9! = 362880

Ako si môžeme vštimnúť, tak cifry od 7 do 9 použiť nemôžeme, pretože inak by bolo výsledné číslo 4 alebo viac ciferné. Rovnako vieme vyradiť aj cifru 6. 6! je 720, teda v súčte faktoriálov budeme mať na mieste stoviek určite cifru 7 alebo väčšiu. Toto ale nemôže nastať, ako sme si ukázali vyššie.

Aký najvyšší súčet faktoriálov vieme dostať, ak by sme v čísle nepoužili 5? Najväčšia cifra, ktorú ešte môžeme použiť je 4, avšak súčet 4! + 4! + 4! je len 72, čo je dvojciferné číslo. Teda vieme, že v našom hľadanom čísle bude aspoň jedna cifra 5.

Skúsme zistiť, koľko cifier 5 sa môže nachádzať v hľadanom čísle. Ak by sa v čísle nachádzali 3 cifry 5, tak súčet 5! + 5! + 5! vychádza 360, čo nevyhovuje zadaniu.

Ak by sa v čísle nachádzali 2 cifry 5, tak súčet faktoriálov vyzerá zatiaľ nasledovne 5! + 5! = 240. Ak teraz pripočítame k výsledku ľubovoľný faktoriál (okrem 5!, čo sme si ukázali vyššie), tak sa cifra 2 na mieste stoviek už nezmení.Teda ak sa v čísle nachádzajú 2 cifry 5, tak sa tam určíte nachádza aj cifra 2 na mieste stoviek. Ale súčet 2! + 5! + 5! = 242 nie je 255, teda táto možnosť nevyhovuje.

Teda v hľadanom čísle sa nachádza práve jedna cifra 5. Najväčší súčet faktoriálov dosteneme, ak použijeme cifry 5, 4 a 4. Súčet ich faktoriálov je ale 120 + 24 + 24 = 168, teda hľadané číslo určite začína cifrou 1.

Teraz nám stačí už len doskúšať zostávajúce 4 možnosti:

1! + 1! + 5! = 122 - nesedí

1! + 2! + 5! = 123 - nesedí

1! + 3! + 5! = 127 - nesedí

1! + 4! + 5! = 145 - sedí!

Odpoveď: Jediné číslo vyhovujúce zadaniu je 145.