10. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Medaila má tvar trojuholníka ABC, ktorý má stranu AB dlhú 4\, \text{cm} a AC dlhú 6\, \text{cm}. Na medaili je vyznačený bod H ktorý je pätou kolmice spustenej z bodu B na os uhla CAB. Bod M je stredom strany BC. Aká je dĺžka úsečky MH?

Vzorové riešenie

Opravovali: Qwedux, uršuľa

Označme D priesečník kolmice BH a strany trojuholníka AC.

Keďže AH je os uhla \measuredangle CAB tak |\measuredangle HAB|=|\measuredangle HAD|. Taktiež priamka HB je kolmá na os AHa preto |\measuredangle AHB| = |\measuredangle AHD| = 90^\circ. Potom si môžeme všimnúť, že \triangle DHA je zhodný s \triangle BHA podľa vety usu. Majú totižto spoločnú stranu AH a uhly prislúchajúce tejto srane majú rovnakú veľkosť. Z toho vyplýva dĺžka strán |AD|=|AB|=4 a že bod H je stredom úsečky BD keďže |HB|=|HD|.

Všimnime si, že MH je stredná priečka \triangle DBC, keďže M je stred strany BC a H je stred strany BD. Ako je všeobecne známe dĺžka strednej priečky je polovica dĺžky rovnobežnej strany daného trojuholníka. Takže v našom prípade |MH|=\frac{|DC|}{2}. Teda ak by sme vypočítali dĺžku úsečky DC, tak to už máme takmer doriešené. Keďže bod D leží na úsečke AC, tak dĺžku úsečky DC vieme vypočítať ako |AC|-|AD|=6~\text{cm}-4~\text{cm}=2~\text{cm} a teda |MH|=\frac{|DC|}{2}=\frac{2\text{cm}}{2}=1~\text{cm}.

Odpoveď: Dĺžka úsečky MH je 1~\text{cm}.