6. príklad - Vzorové riešenie

Ako prvé sa pozrime na to ako bude vyzerať náš útvar.

Môžeme si všimnúť že úsečky SA, SD, SM a SB majú rovnakú dĺžku lebo S je stredom kružnice na ktorej ležia body A, D, M, B.

Úsečky AB a CD majú rovnakú dĺžku, lebo sú protiľahlými stranami rovnobežníka. Z toho vypýva, že \frac{1}{2}\left| AB \right| =\frac{1}{2}\left| CD \right|. Vieme že bod M je stredom CD a bod S je stredom AB. To znamená že AS, SB, DM a MC majú rovnakú dĺžku.

Zakreslime si všetky tieto rovnaké strany do nášho obrázku.

Teraz nám vznikol rovnostranný trojuholník DMS. Z toho vyplýva, že jeho všetky vnútorné uhly sú 60°. Pozrime sa na uhol MSB. Tento uhol je striedavý s uhlom DMS, takže bude mať rovnakú veľkosť a to 60°. To isté nám platí aj pre uhly ASD a SDM.

Pozrime sa na obrázok, či nám tieto nové poznatky neukázali niečo nové.

Trojuholník ASD je rovnoramenný, lebo AS a SD sú rovnako veľké. to znamená, že uhly DAS a ADS sú rovnako veľké. Označme ich veľkosť a. Potom musí platiť 2a+60°=180°, lebo vieme že súčet uhlov v trojuholníku je vždy 180°. Ak si z oboch strán rovnice odčítame 60° a potom ju vydelíme dvomi, tak dostaneme a=60°. To znamená že aj trojuholník SAD je rovnostranný. Zakreslime si to do obrázku.

Teraz si môžeme všimnúť že uhol ADB je pravý, lebo úsečka AB je priemer kružnice a bod D leží na tejto križnici. Podľa Tálesovej vety platí, že vrchol pri D musí byť pravý.

Kedže v trojuholníku ADB máme uhol BAD veľkosti 60° a uhol ADB pravý, tak uhol ABD musí mať veľkosť 180°-60°-90°=30°.

Odpoveď: Veľkosť uhla ABD je 30°.