Koniec: 28. marec 2022 22:00
Do konca: kolo skončilo
Po slávnostnom výbere a vymenovaní hrdinskej záchrannej výpravy dostali Vella, Andy a Majty P. plný prístup ku zdrojom kráľovstva. Musia sa pripraviť na výpravu. Mimriška totiž nebude ľahké vyslobodiť. Naši hrdinovia sa teda pobrali dôkladne pripraviť. Začali so zbraňami. Keď však prišli ku zbrojárovi, hneď im bolo jasné, že to tak ľahké nebude. Nie každému totiž každá zbraň sadne, Andy Dušan dokonca pár zbraní nevedel ani zdvihnúť.

1. príklad

Kategórie:
5
V sklade mali halapartňu, meč, sekeru, oštep, kyjak a nožík. Hmotnosť zbraní označujeme postupne písmenami: H, M, S, O, K, a N. Každá zbraň má inú celočíselnú hmotnosť medzi 0 a 5 vrátane. Nájdite všetky možné rozdelenia jednotlivých hmotností (riešenia), ak platia tieto rovnice:
M \cdot M=O+S+K
N+3 \cdot H=S+K

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Hoci sa ku zbrojárovi vybrali spoločne, zbrane nakoniec vyberali iba Vella a Andy Dušan. Majty P. totiž po ceste uvidel trhovisko, kde mali rýchlovarné kanvice, šatky, zbierku Teletubbies cédečiek, instantné jedlá, akúsi tajomnú červenú knihu, jednoducho všetko, čo pravý hrdina nepotrebuje, ale chce. Po dlhej chvíli čakania na to, kým si Majty P. prezrie všetky tie haraburdy, ho tam ostatní hrdinovia radšej nechali. Majty P. sa teda rovno vybral a pobalil zásoby na výpravu tak, aby boli pekne rovnomerne rozložené vo vakoch.

2. príklad

Kategórie:
5
6
Majty P. si rozložil nakúpené zásoby a cestovné vaky: „Do prvého dám jednu vec a sedminu zo zvyšných vecí, do druhého vložím dve veci a sedminu počtu z nového zvyšku a tak ďalej. Teda n-tý vak bude obsahovať n vecí a k tomu ešte sedminu zo zvyšného množstva zásob, pokiaľ nejaké budú.“ Takto sa podarilo rozdeliť všetky zásoby a pritom mali všetky vaky v sebe rovnako veľa vecí. Koľko vakov brali hrdinovia na výpravu?

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Keď mali všetko zbalené a boli rozlúčení s kamarátmi a rodinou, bol najvyšší čas odštartovať výpravu. Zdvihli kotvy nablýskanej lode s vlajkou kráľovstva a s úsvitom nového dňa poslednýkrát zamávali svojmu rodnému ostrovu. Keďže ani jeden z hrdinov sa nevyznal vo vetroch, morských prúdoch a v navigácii podľa hviezd, smer lode nechali v rukách skúseného námorníka Pedra. More bolo pokojné ako jazero, na oblohe ani mráčik. Okrem smiechu z kajuty, kde sa zašili Andy Dušan a Majty P. a zabávali sa odriekaním úryvkov červenej knihy, ktoré sa učili naspamäť. Vella ako najzodpovednejšia z výpravy dala pred radovánkami prednosť sústredeniu sa na cestu. Keď tu zrazu… „Morská príšera pár metrov na ľavoboku,“ pokojne oznámil Pedro, ktorý si zrovna ľahol a chystal sa opaľovať. „Ja to vyriešim, nechajte to na mňa!“ statočne oznámila Vella.

3. príklad

Kategórie:
5
6
7
Vella je extrémne bystrá a rýchla, takže vie poraziť skoro každú príšeru. Prehrá iba vtedy, ak má príšera aspoň 40-krát toľko zbraní ako Vella. Pokiaľ by mala táto morská príšera dvakrát toľko zbraní ako má teraz, a Vella by mala o štyri zbrane viac ako má teraz, Vella by prehrala. Tiež vieme, že spolu mali zbraní 500. Aký najväčší počet zbraní môže mať Vella?

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

„Och nie, to pre Vellu nevyzerá dobre!” zvolal skľúčene Majty P., sledujúc boj. „Mal by som jej pomôcť?” opýtal sa ho Pedro pokojne. “Samozrejme ty trubiroh!!!” skríkol Andy, „nesmieme Vellu stratiť.” Po naliehaní si Pedro dal dole košeľu a skáče ukážkovú šípku do vody. Po minúte už príšery nebolo. „Hurá!” tešia sa dvaja komedianti, zatiaľ čo Pedro pomáha zdrvenej a vysilenej bojovnici späť na loď. „Tieto príšery, to sú otravy. Takúto mladú som však ešte nevidel. Väčšinou sú o dosť väčšie,” vysvetľoval Pedro. Do večera sa našťastie už nič nestalo, a tak zvyšok plavby prebehol hladko. Hrdinovia sa poďakovali Pedrovi a nasledujúci deň vyrazili v prístavnom meste hľadať odvoz hlbšie do vnútrozemia, k horám, kde sídlila dračica Uršica.

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
Hrdinovia musia zistiť, kedy odchádza pravidelný Tuk-Tuk odvoz do mesta vo vnútrozemí. Vella si pamätá všetky rôzne časy, kedy odchádzajú Tuk-Tuky do nejakého mesta: 10:15, 10:25, 10:50, 11:35, 11:45, 12:05, 12:25, 13:05, 13:15 alebo 13:35. Tieto časy povedala svojim kamarátom, ktorí jeden vedel hodinu a jeden minútu správneho času. Oni na to odpovedali takto:
  • Andy: „Pamätám si síce, v ktorú hodinu odvoz odchádza, no to mi nestačí na to, aby som vedel povedať, kedy presne to je. A viem, že ani Majty P. to z minúty odchodu nevie.”
  • Majty P.: „Ja si pamätám, v ktorú minútu odchádza. Naozaj som len z Velliných časov odchod určiť nevedel, ale teraz to už viem.”
  • Andy: „Teraz už aj ja viem, kedy presne odchádza.” Určite na základe týchto výrokov, kedy Tuk-Tuk odchádza.

Komentáre (4)

  • Kubus
    13. marec 2022 18:26

    nechápem čo sa Majty P. dozvedel čo mu pomohlo to zistiť

  • Jakub26
    14. marec 2022 14:40

    "A viem, že ani Majty P. to z minúty odchodu nevie.” je fakt ktorý Andy vie alebo je to informácia, ktorú vydedukoval na základe toho čo vie?
    Vopred ďakujem za odpoveď.
    Jakub Hladík

  • stepi Vedúci
    14. marec 2022 18:28

    Ahojte,
    každý na začiatku vie len správnu hodinu/minútu a zoznam tých odchodov (podľa zadania). Okrem toho každý počuje, čo hovorí ten druhý pred ním, takže z toho môže niečo vydedukovať.
    Ak teda na začiatku Andy hovorí, že vie niečo o Majtym, musel to zistiť len z hodiny (ktorú on vie) a zo zoznamu odchodov.
    Za vedúcich Štepi

  • Kubus
    15. marec 2022 08:09

    ďakujem

Pridaj komentár

„Veď to je o chvíľu!” zvolal Andy: „Poďte!” Hrdinovia sa svižne rozbehli za Andym, ktorý šikovne našiel miesto, kde Tuk-Tuky parkujú a odchádzajú. Natlačili sa aj s vybavením do maličkého vozidla, za čo si vyslúžili nesúhlasný pohľad vodiča a vydali sa na cestu. Cesta pekne ubiehala, vnútrozemie bolo tak nádherné, ako očakávali. Cestou míňali iné Tuk-Tuky náhliace sa s pasažiermi na iné miesta.

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Na trati premáva 5 Tuk-Tukov v pravidelných intervaloch medzi stanicami A a B obojsmerne. Tuk-Tuky idú celý čas konštantnou rýchlosťou. V stanici potom Tuk-Tuk nejaký čas počká (v oboch rovnaký) a ide tou istou cestou naspäť. O 15:00 sme vyrazili zo stanice A. O 15:03 sme sa stretli s Tuk-Tukom, ktoré išlo oproti. O 15:08 sme sa stretli s ďalším, potom sme už žiadne nestretli a dorazili do cieľovej stanice. Ako často chodia Tuk-Tuky a ako dlho čakajú na staniciach?

Komentáre (8)

  • ZofiaBartova
    20. marec 2022 14:26

    Dobrý deň, chcem sa spýtať, že či správne chápem, že medzi tým, ako stretli prvý Tuk-Tuk o 15:03 a tým, ako stretli druhý Tuk-Tuk o 15:08, nestretli žiadny ďalší?
    Žofia Bartová

  • MatejStupka
    22. marec 2022 17:10

    dobry den chcem sa len spytat ci do stanice B dosli o 15.08?
    Dakujem

  • viliamgottweis
    23. marec 2022 17:09

    Dobry den,
    Mozu stat dva Tuk-Tuky naraz na jednej stanici?
    Vopred dakujem.
    Viliam Gottweis

  • Danko Vedúci
    24. marec 2022 00:26

    Ahojte,
    čo sa týka prvej otázky, áno, iné Tuk-Tuky už nestretli, všetky sú spomenuté v zadaní.
    Čas príchodu do druhej stanice nie je zadaný, o 15:08 stretli Tuk-Tuk, a potom ešte mohli nejaký čas ísť, kým dorazili do cieľovej stanice.
    A napokon, počet Tuk-Tukov v stanici nie je obmedzený, môže ich stáť v jednej aj viac naraz.

    Danko

  • Adela
    26. marec 2022 18:46

    Dobry den. A ked o 15:00 v stanici nastupime tak hned aj vyrazime? Ci este nejaky neznamy cas cakame? Dakujem

  • Danko Vedúci
    26. marec 2022 21:54

    Ahoj,
    v príklade to bolo myslené tak, že po nastúpení rovno vyrazíme. Zadanie sme upravili tak, aby to už bolo jasné.

    Danko

  • SaterS
    27. marec 2022 15:03

    Dobrý deň,
    vychádzajú tuk-tuky z oboch staníc v tom istom intervale?
    Vopred ďakujem.

  • stepi Vedúci
    28. marec 2022 09:49

    Ahoj Šimon,
    cestou tam vychádzajú tuktuky zo stanice v rovnakých intervaloch a na konečnej rovnako dlho čakajú, takže aj naspäť musia vyrážať v rovnakých intervaloch.
    Za vedúcich Štepi

Pridaj komentár

Tuk-Tuk sa aj napriek obavám jeho pasažierov nakoniec nerozpadlo a šťastlivo ich priviezlo do cieľového mesta pri horách. „Brrr, tu je ale zima,“ poznamenal Andy, len čo vystúpil z Tuk-Tuku. „Tá jaskyňa je v horách, samozrejme, že tu bude zima,“ prezerá si mapu Vella. Majty P. sa na tie zmrzliny víťazoslávne pozrie a vyberá z vaku rýchlovarnú kanvicu a pomocou elektriny zo solárnej lavičky si varí vodu na instantnú kávu, ktorú celý čas vláčil so sebou. „Vyzerá to tak, že naše kráľovstvo sa nevolá za siedmimi horami a dolami pre nič za nič, no netuším ako sa chcete, vy mudrlanti, do tých hôr dostať. Je tam veľmi málo ciest…“

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Máme cesty dĺžky C a priesmyky dĺžky P, pričom obe dĺžky sú kladné celé čísla. Určte všetky dvojice C a P pre ktoré platí n=\frac{4 \cdot P}{n}, pričom n označuje najmenší spoločný násobok C a P.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

„Fíha, je tu pekne, ale aj dosť zima,” poznamenal po pár hodinách zvyčajne veselý Majty P. drkotajúc zubami. „Chachá, s jednou výpravou som už v podobných horách pred pár rokmi bola. To si mal vidieť. Boli tam kopy snehu! Ale teraz sa všetko oteplilo, sneh nikde, ale aspoň sa nám ľahšie kráča,” vysvetľovala Vella, „skôr sa viac obávam trollov. V horách sú ich húfy…” „Ehm, myslím, že máš pravdu,” prerušil ich Andy a ukázal na stranu priesmyku, ktorým práve prechádzali, „tí sa s nami asi nebudú chcieť kamarátiť.”

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Horský trollovia mali dohodnutú bojovú formáciu. Tou je tabuľka n \times n\, (n \ge 2), v ktorej je v jednotlivých políčkach postupne 1, 2, \ldots, n^2 trollov v tomto poradí (v prvom riadku je postupne 1, 2, \ldots , n trollov, v druhom riadku n + 1, n + 2, \ldots, 2n, atď.). V jednom kroku môžeme zvoliť ľubovoľné dve susedné políčka (t. j. také, ktoré majú spoločnú stranu), a ak je v nich spolu párny počet trollov, rovnomerne ich prerozdelíme medzi tieto dve políčka (aby ich bolo v oboch políčkach rovnako veľa). Najsilnejšia je formácia vtedy, keď je v každom políčku rovnako veľa trollov. Pre ktoré n vieme takúto formáciu dosiahnuť?

Komentáre (2)

  • MatejBachnicek
    26. marec 2022 19:32

    Dobrý deň,
    Chápem správne, že ak zvolíme 2 políčka, v ktorých je dokopy počet trollov nepárny, počet trollov v ani jednom z nich sa nezmení?

    Vopred ďakujem za odpoveď.

  • stepi Vedúci
    27. marec 2022 17:39

    Ahoj Maťko, chápeš správne, teda že chceš si vždy vyberať také políčka, ktoré majú dokopy párny počet trollov.
    Za vedúcich Štepi

Pridaj komentár

„Fíha, to je ale silná formácia,” mrmlal uznanlivo generál trollov, „ale to ste si moc nepomohli. Akurát ste sa sami dostali do ešte väčšej šlamastiky. Teraz vás môžeme premôcť ešte ľahšie. Trollovia, chyťte ich!” „Hou, hou, hou, hou, počkať, počkať, počkať!” kričí Majty P.: „Môžeme vám zaplatiť. Dať vám niečo!” „Keď vás chytíme, budeme mať všetky vaše veci aj tak,” vraví generál. „Ale my máme…” vraví Majty P. šmátrajúc v taške, „... máme… toto!” Majty P. víťazoslávne vytiahol tajuplnú červenú knihu, ktorú kúpil ešte doma na trhu. „To je legendárna kniha balregby!” zhíkli trollovia: „Ovládajú mágiu!” „Hej vy dvaja, hovorte, čo si pamätáte!” pošepkala Andymu a Majtymu P. Vella. Ako dvaja hrdinovia začali odriekať to, čo si pamätali, trollovia sa rozutekali kade-ľahšie. Pár ich dokonca spadlo na zem.

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Od našich hrdinov uteká N trollov. Vieme, že N začína cifrou 3 a druhá jeho cifra nie je nula. Keď odstránime jeho prvú cifru (tú trojku), dostaneme celé číslo M.
  • Určte všetky N, pre ktoré platí N = 25 \cdot M.
  • Určte všetky celé čísla A také, pre ktoré vieme nájsť aspoň jedno N spĺňajúce N=A \cdot M.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Vella agresívne pribehla k jednému ležiacemu trollovi, ktorý pri úteku spadol a teraz sa snažil vstať. „Nezačarujte ma!” prosil, kým sa úpenlivo snažil ujsť Velle. „Nezačarujeme ťa, ak nám ukážeš, kde má Uršica jaskyňu.” „Ukážem! Ukážem!” vreští malý troll pozorujúci Majtyho P. so starou červenou knihou v ruke. A tak hrdinovia našli sprievodcu. Troll slovo dodržal a ukázal im rýchlu cestu pomedzi vrcholky. Ani nevedeli ako, ocitli sa na dohľad od vchodu do jaskyne.

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Vchod do jaskyne vyzerá ako lichobežník ABCD, pričom platí AB \parallel CD. Priesečník osí vonkajších uhlov pri A a D nech je bod P a priesečník vonkajších osí uhlov pri B a C nech je bod R. Označme o obvod lichobežníka. Dokážte, že |PR| = \frac{o}{2}.

Poznámka: Vonkajšia os uhla pri vrchole A lichobežníka je os medzi ramenom AD a polpriamkou opačnou k polpriamke AB.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

„Ďakujeme, môžeš ísť,” pustila Vella trolla, „a nie že povieš ostatným, kde nás nájdu.” Malý troll len ufujazdil medzi kamene. „Dobre, to by sme teda mali,” vydýchol si Andy, ktorého záhadná červená kniha zrazu znervózňovala. Vložil ju teda do batoha. „Už len napochodovať do jaskyne a nejako odtiaľ dostať Mimriška.” „Nebude to také jednoduché,” zachmúrene povedala Vella a ukázala na strážcu sediaceho pri vchode do jaskyne. „Vyzerá unavene,” zamyslene prehodil Majty P., „možno sa dokážeme dnu vkradnúť.”

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9
Strážca jaskyne je unavený. Jeho únavu vieme vyjadriť kladným celým číslom, ktoré je na začiatku 1. Aby nezaspal, počúva nekonečný playlist pesničiek podľa svojho výberu. Každá pesnička má nejakú kvalitu, ktorú vieme tiež vyjadriť kladným celým číslom. Playlist tvoria také pesničky, že každá má vyššiu kvalitu ako tá predošlá. Keď si vypočuje pesničku kvality n, zmení sa jeho únava nasledovne:
  • Ak má únavu 1, zmení sa na 2^{(3n^2 + n)} + n \cdot 2^{(3n^2 + n + 1)}.
  • Ak má únavu x \ (x\ne1), tak sa od x odráta najmenšia mocnina dvoch taká, že nie je deliteľom x, a výsledné číslo sa potom ešte vydelí 4^n. Tým dostaneme strážcovu novú únavu.
Keď strážcovi vyjde únava, ktorá nie je kladné celé číslo, tak zaspí, čo nechce. Chce ale stráviť čo najviac času tak, že má iba únavu 1, aby vedel čulo strážiť jaskyňu. Nájdite spôsob, ako si môže strážca vybrať taký playlist, že dosiahne únavu 1 ľubovoľne veľakrát bez toho, aby zaspal.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

„Je unavený! Teraz je naša šanca,” zavelila Vella, „poďme!” Začala sa pomaly štverať ku vchodu. Andy a Majty P. ju po chvíli zaváhania nasledovali a nemotorne sa šplhali k jaskyni. Vella zatiaľ potichu prešla okolo strážcu, ktorý otupene žmúril kamsi do diaľky. Tenký a ľahký Andy sa k nej čoskoro pridal. Zostával už len Majty P. Neohrabane sa snažil byť potichu, ale nakoniec prišlo neodvratné. S hrmotom a všetkými vecami sa rozcapil na zemi. Strážca sa prebral a Vella rýchlo tasila meč. „Áááá, priatelia, dobre že ste ma zobudili, teraz ide moja obľúbená pesnička,” povedal strážca, bdelo sa narovnal a začal si spievať niečo po japonsky. Hrdinov si ďalej nevšímal. „Dobre? Poď Majty P., využime to,” povedala Vella a vbehla dovnútra. Andy a Majty P. za ňou. Vbehli do jaskyne, ktorá mala prekvapivo veľa štvorcových miestností…

Prémia 1

Kategórie:
5
6
7
8
9
Tento príklad je iný ako ostatné. Nemusíš spisovať svoj postup, stačí nám poslať riešenie. Viac informácií nájdeš v pravidlách.
Umiestnite do mriežky 20\times20 bodov čo najviac rôznych štvorcov s vrcholmi na nich tak, aby sa ich strany nedotýkali ani bodom (môžu byť celé v sebe). Za rovnaké považujeme iba tie štvorce, ktoré majú dvojice strán rovnobežné a rovnako dlhé.
“Už len nájsť hlavnú miestnosť,” vravela Vella, zatiaľ čo sa zakrádala popri veľkých chodbách. Andy si obzeral podivuhodnú výzdobu na stenách, keď tu zrazu… „Pšššt! K zemi! Vidím Uršicu!” Vella zrazila oboch vtipálkov k zemi. A naozaj, keď vykukli spoza rohu, videli spiacu dvojhlavú dračicu Uršicu rozvaľovať sa na veľkom dračom gauči uprostred miestnosti…

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár