Kategórie:
5
6

Zadanie

Majty P. si rozložil nakúpené zásoby a cestovné vaky: „Do prvého dám jednu vec a sedminu zo zvyšných vecí, do druhého vložím dve veci a sedminu počtu z nového zvyšku a tak ďalej. Teda n-tý vak bude obsahovať n vecí a k tomu ešte sedminu zo zvyšného množstva zásob, pokiaľ nejaké budú.“ Takto sa podarilo rozdeliť všetky zásoby a pritom mali všetky vaky v sebe rovnako veľa vecí. Koľko vakov brali hrdinovia na výpravu?

Vzorové riešenie

Opravovali: MartinŠ, erik, stepi

Do prvého vaku dáme najprv 1 vec a potom sedminu zvyšku, do druhého 2 veci a sedminu zvyšku, a tak ďalej. Počet vecí, ktoré do vakov dávame najprv, sa vždy zväčší o 1, takže počet vecí v tých sedminách sa musí vždy zmenšiť o 1, aby sa to vyrovnalo a v každom vaku bolo rovnako veľa vecí.

Poďme to využiť a pozrieť sa na to, ako sa budú meniť počty vecí medzi jednotlivými sedminami. Máme nejaký celkový počet vecí a z nich zoberieme 1 vec a dáme ju do prvého vaku. Zostane nám nejaký počet vecí, z ktorého zoberieme sedminu a dáme ju do do prvého vaku. Označme počet vecí v tejto sedmine x, lebo to ešte neskôr využijeme. Ďalej do druhého vaku dáme 2 veci. Oproti tomu, keď sme prvýkrát brali sedminu zásoby, sme teda z celkovej zásoby zobrali x + 2 veci.

Teraz chceme znova zobrať sedminu celkovej zásoby, a tá má byť o 1 menšia ako sedmina zásoby predtým. To znamená, že v celkovej zásobe musí teraz byť o 7 vecí menej ako predtým, týchto 7 vecí sme teda medzičasom zobrali. No a vieme, že sme zobrali x + 2 veci, takže z toho vieme, že x = 5.

Zistili sme teda, že po zobratí prvej veci zo zásoby tam ostalo toľko vecí, že sedmina z nich bolo 5, takže spolu ich bolo 35. Na začiatku teda v zásobe bolo 36 vecí. Podľa postupu zo zadania vieme, že do prvého vaku sme ich museli dať 6, takže v každom vaku ich bude 6. Vakov teda bude 36/6 = 6.

Nakoniec by sme ešte mali spraviť skúšku správnosti, teda overiť, či sa veci naozaj dajú takto rozdeliť (mohlo by sa stať, že aj tu niečo nebude sedieť a úloha by nemala riešenie). Môžete si overiť, že pri dodržaní postupu zo zadania bude nakoniec v každom vaku naozaj 6 vecí.

Iné riešenie

Označme počet vakov n. V poslednom vaku bude n vecí a sedmina zvyšku, ale ak by nejaký zvyšok bol, tak by nám časť z neho (okrem tej sedminy) zostala, a to nemôže, takže v ňom bude práve n vecí.

V predposlednom vaku musí byť tiež n vecí, ale to musí byť zároveň n - 1 vecí a jedna sedmina zo zvyšku. Tá sedmina zo zvyšku teda musí byť 1, aby to sedelo. To znamená, že zvyšok je vtedy 7 vecí a na posledný batoh nám ostane 6 vecí. Máme teda 6 batohov po 6 vecí a rovnako vieme overiť, že toto riešenie naozaj funguje.

Komentár

Viacerí z vás ste predpokladali, že každá ďalšia sedmina bude o 1 menšia ako tá predošlá, ale nevysvetlili ste, prečo to tak musí byť. Tak si na to dajte pozor, aby ste vždy napísali, ako ste na čo prišli.