2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
V kráľovskom paláci bolo vedľa seba 2022 komnát na jednej chodbe. Každá komnata mala vlastné dvere, na ktorých bolo vygravírované číslo. Každé štyri po sebe idúce dvere mali súčet svojich čísel 25. Palác bol ale starý a o nič mladšie neboli ani dvere, takže sa niektoré čísla komnát časom ošúchali, a iba na troch najmenej používaných komnatách sú doteraz viditeľné. Na obrázku vidíme prvé štyri a posledné štyri dvere. Aké číslo mali dvere komnaty princa Mimriška, ktorá bola úplne na konci chodby?
Vzorové riešenie
Ako prvé sa môžeme pozrieť na hociktorých 5 po sebe idúcich dverí. Označme si čísla na nich postupne ako a, b, c, d, e. Potom platia nasledovné dva súčty:
a+b+c+d=25,
b+c+d+e=25.
Teraz si môžeme všimnúť že pravé strany sú v oboch rovniciach 25 takže sa nám rovnajú aj ľavé strany
a+b+c+d=b+c+d+e.
Vidíme že na oboch stranách je b+c+d takže to môžeme odčítať z oboch strán a dostaneme a=e. To znamená že ak majú n-té dvere v poradí číslo a tak aj dvere na (n+4)-tom mieste budú mať číslo a.
Teraz sa teda pozrieme na čísla, ktoré poznáme. Vieme že na 1. mieste je číslo 6. Takže na mieste 1+4 bude tiež 6 aj na 1+4+4 bude 6. Toto vieme opakovať stále takže všeobecne vieme povedať že na každom mieste ktoré je o 1 väčšie ako násobok 4 bude číslo 6. Na 3. mieste je číslo 7, to znamená že na každom mieste ktoré je o 3 väčšie ako násobok 4 bude číslo 7.
Pozrime sa teda na posledné 4 čísla. Posledné číslo je na 2022. pozícii to znamená že je o 2 väčšie ako násobok 4. Číslo pred ním teda bude 6 lebo to je na pozícii o 1 väčšeej ako násobok 1. 2019. dvere (4. od konca) majú číslo 7 lebo sú na mieste o 3 väčšom ako násobok 4.
Posledné 4 dvere sú teda v poradí 7, 9, 6, ?. Teraz nám stačí vyrátať otáznik. Vieme že súčet každých 4 po sebe idúcich čísel je 25 takže 7+9+6+{?}=25. To znamená že otáznik má hodnotu 3.
Odpoveď: Dvere komnaty princa Mimriška majú číslo 3.