Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Údolie má tvar pravidelného 13-uholníka. Každý jeho vrchol zafarbíme modrou alebo červenou farbou. Dokážte, že pri ľubovoľnom spôsobe ofarbenia vrcholov, existuje jednofarebná trojica vrcholov, ktoré tvoria rovnoramenný trojuholník.

Vzorové riešenie

Opravovali: Prutky, palo

Postup, ktorý budeme používať, je takzvaný dôkaz sporom. T.j. budeme predpokladať, že dokážeme ofarbiť vrcholy bez toho, aby sme dostali rovnoramenný trojuholník, a dostaneme sa do sporu, teda do nemožnej situácie. V takom prípade jediná ostávajúca možnosť bude, že sa rovnoramennému trojuholníku vyhnúť nevieme, a teda budeme hotoví.

Ako prvé si môžeme všimnúť, že musíme mať dva vrcholy rovnakej farby pri sebe. Predpokladajme, že by nemuseli byť dva body rovnakej farby vedľa seba. V tom prípade musíme farby striedať medzi modrou a červenou farbou. Toto bude fungovať dobre na prvých dvanásť bodov, lenže trinásty bod v tejto chvíli susedí aj s modrým aj s červeným bodom. Teda dvojica susedných bodov rovnakej farby existuje.

Teraz sa pozrieme na túto jednofarebnú dvojicu susediacich vrcholov. Keďže na konkrétnej farbe nezáleží, nech je táto dvojica červenej farby. Pre väčšiu prehľadnosť (a keďže situácia sa dá vhodne otočiť) bude táto dvojica bodov pozostávať z bodov A, B, ako na obrázku:

Pozrime sa teraz na body C, H, M a prislušné trojuholníky, ktoré tvoria spolu s bodmi A, B. Tieto tri trojuholníky vidíme prerušovanými čiarami na obrázku. Vzhľadom na to, že náš trinásťuholník je pravidelný, ľahko vidíme, že tieto tri trojuholníky sú rovnoramenné. Keďže sme predpokladali, že rovnoramenný trojuholník jednej farby neexistuje, musia byť všetky tieto tri body nutne modrej farby.

Lenže to sa nesmie stať. Trojuholník MCH je sám totiž rovnoramenný. Dostali sme sa teda do sporu, tak ako sme chceli.

Zhrnutie a záver:

V našom riešení sme najprv predpokladali, že ofarbenie bez rovnoramenného trojuholníka existuje. Potom sme logickými krokmi dospeli ku sporu, keď nám nutnosťou taký trojuholník vznikol. Takže náš predpoklad, že rovnoramenný trojuholník nemusí existovať, bol nesprávny. Dokázali sme teda, že rovnoramenný trojuholník musí existovať, presne tak ako sme mali.

Komentár

Viacerí z vás ste príklad zvládli na plný počet bodov, no vyskytli sa dva najčastejšie typy chýb.

Prvý z nich bol, že ste postupovali približne týmto riešením a ukázali ste, že máme nejaký bod, ktorý sa nedá ofarbiť ani jednou farbou. Lenže tu treba ukázať aj to, že tento bod je rozumne definovaný a taktiež, že je to jeden z bodov trinásťuholníka.

Druhý typ chyby sa vyskytoval pri riešeniach typu "skúšame všetky možnosti". Tento postup je síce matematicky správny, ale na získanie plného počtu bodov treba ukázať, že ste vyskúšali naozaj všetky (relevantné) možnosti. Bez toho, a hlavne keď napíšete iba "tu som skúšal možnosti a vyšlo ___", môžete dostať iba malý počet bodov.