7. príklad - Vzorové riešenie

Zopakujme si najprv, čo vieme povedať o cifrách nejakého čísla, keď vieme, čím je deliteľné.

• Ak je číslo párne, tak jeho posledná číslica musí byť párna.
• Ak je číslo deliteľné tromi, tak je aj súčet jeho cifier deliteľný tromi.
• Ak je číslo deliteľné piatimi, tak jeho posledná cifra musí byť 0 alebo 5.
• Ak je číslo deliteľné ôsmimi, tak jeho posledné trojčíslie je deliteľné ôsmimi.

Ak je číslo \overline{cbabc} deliteľné 15, tak je deliteľné aj 3 aj 5 (lebo 15 je deliteľné aj 3 aj 5). Podľa deliteľnosti piatimi vieme, že jeho posledná číslica, čo je c, musí byť 0 alebo 5. Zo zadania ale vieme, že všetky číslice sú nenulové, takže c=5.

Okrem toho podľa deliteľnosti tromi vieme, že a+b+c aj c+b+a+b+c sú deliteľné tromi. Preto aj ich rozdiel, teda b+c, musí byť deliteľný tromi. Navyše aj rozdiel a+b+c a b+c, čiže a, musí byť deliteľný tromi.

Ďalej vieme, že \overline{abcba} je deliteľné ôsmimi, a teda musí byť párne (lebo aj 8 je párna). Jeho posledná číslica, čo je a, teda musí byť párna.

Zatiaľ sme si teda povedali, že c=5, a že b+c je deliteľné tromi. To platí, keď je b rovné 1, 4, alebo 7.

Zistili sme aj to, že a je párne aj deliteľné tromi, a ešte podľa zadania nemôže byť 0. Ostáva nám teda len jedna možnosť, a=6.

Máme teda tri možnosti, čo môže byť \overline{abc}: 615, 645, a 675. Overíme, či pre tieto čísla naozaj platia všetky podmienky zo zadania. Zistíme, že pre prvé dve z nich neplatí podmienka o deliteľnosti ôsmimi, čo nám necháva len jediné riešenie: \overline{abc}=675.

Iné riešenie

Rovnako ako pri prvom riešení zistíme, že c=5. Teraz využijeme, že pravidlo o deliteľnosti tromi (ako aj tie ostatné z nich) platí aj opačne: ak je ciferný súčet čísla deliteľný tromi, tak je aj samotné číslo deliteľné tromi. Vieme, že \overline{abc} je deliteľné tromi, a má rovnaký ciferný súčet ako \overline{cba}, takže aj \overline{cba} je deliteľné tromi.

Okrem toho je \overline{abcba} deliteľné ôsmimi, takže jeho posledné trojčíslie, čo je \overline{cba}, je deliteľné ôsmimi.

Keďže je \overline{cba} deliteľné tromi aj ôsmimi, tak musí byť deliteľné aj ich najmenším spoločným násobkom, čo je 24. Už vieme, že c=5, a trojciferných násobkov 24, ktoré začínajú číslicou 5, nie je až tak veľa.

Konkrétne sú to 504, 528, 552, a 576. Vyskúšame si teda za \overline{cba} dosadiť každé z týchto čísel (504 neberieme do úvahy, lebo v správnom riešení nemôže byť číslica 0), a overíme, či naozaj platia všetky podmienky. Pre 528 a 552 neplatí deliteľnosť pätnástimi, takže nám vyjde jediné riešenie \overline{abc}=675.

Komentár

Väčšine z vás úloha nerobila problém a našli ste správne riešenie, aj keď niekedy ste si menej zúžili možnosti pre jednotlivé číslice, takže ste museli skúšať viac možností. Okrem toho viacerí z vás zabudli, že podľa zadania musia byť všetky číslice nenulové, a mohli vám vyjsť výsledky navyše, ale za to sme nakoniec nestrhávali body.