9. príklad - Vzorové riešenie
Kategórie:
5
6
7
8
9
Zadanie
Merlinovi a Imrovi odpadla hodina a tak sa zabávali tým, že sčítavali za sebou idúce prirodzené čísla. Takto ich stretol aj Miško, ktorý sa po škole prechádzal s triednou knihou. Spýtal sa ich, či už im niekedy vyšiel súčet 20480. Priznali sa, že k takému súčtu sa ešte nedostali. A tak sa rozhodli, že nájdu všetky spôsoby ako vedia sčitovať za sebou idúce čísla tak, aby dostali takýto súčet. Nájdete ich všetky aj vy?
Vzorové riešenie
Opravovali: Danko, ViktorB, havos, ula
Riešenie:
Súčet za sebou idúcich prirodzených čísel od 1 do n vieme zapísať aj ako \frac{n(n+1)}{2}.
Dokázať že to platí vieme jednoducho. Predstavme si dva rady čísel od 1 do n, zapísané pod sebou, kde druhý rad bude mať prehodené poradie zostupne (od n po 1).
V našom prípade nás zaujíma súčet čísel od m do n, čo sa dá vyjadriť ako 1...n a 1...(m-1). Vieme, že m je menšie ako n a tak si m-1 môžeme vyjadriť ako n-k, kde k je rovné počtu sčítancov od m do n. Súčet čísel m...n potom vieme vyjadriť ako:
Poďme sa teraz bližšie pozrieť na činitele k a (2n-k+1). Oba musia byť celé čísla a tak si môžeme hľadanie obmedziť na prvočíselný rozklad čísla 40960 a ich vzájomné súčiny. Rozoberieme dve možnosti, keď je k nepárny deliteľ 20480, a keď je párny.
Ak by k bolo párne: Činiteľ (2n-k+1) by musel byť nutne nepárny, pretože dve párne čísla (2n a k) po pričítaní 1 dajú nepárny výsledok. Povedzme teda, že (2n-k+1) je 1 alebo 5, potom k=40960 alebo k=8192. V oboch týchto prípadoch je k príliš vysoké na to aby sa naša postupnosť čísel skladala iba z kladných celých čísel (a teda prirodzených). Po dopočítaní n uvidíme, že sa v oboch postupnostiach vyskytujú aj záporné čísla:
Odpoveď: Úloha má dve riešenia: 20480 = 4094 + 4095 + 4096 + 4097 + 4098 a 20480 = 20480
Komentár: Ak niekto neuviedol druhé z možných riešení, tak sme body nestrhávali, pretože nebolo zo zadania úplne jednoznačné či môže patriť do riešení aj postupnosť jedného čísla. Spôsobov ako vylúčiť párne k je hneď niekoľko, bohužiaľ však veľa z vás to nedotiahlo po nájdení toho jediného zaujímavého riešenia dokonca a teda dostali bodov podstatne menej, keďže to bola náročnejšia a podstatnejšia časť riešenia. Chválime však všetkých čo sa po prvej nájdenej možnosti snažili hľadať nejaké pravidlá platiace pre ostatné čísla, a nebáli sa spísať iba čiastočné riešenie.
Bodovanie: Za komentár k tomu ako ste sa k správnej odpovedi dostali cez nepárne k sa dalo získať podľa úplnosti najviac 4 body, a za dôkaz že iné riešenia, najmä pri párnom k neexistujú sa dalo získať najviac 6 bodov. Bodovanie sa samozrejme mohlo odlišovať pri špeciálnych prípadoch, a niekedy sa môže zdať trochu prísnejšie aj za menšie nedostatky, predsa len je to najťažší príklad kola.
\begin{aligned}
1 2 3 &... (n-2) (n-1) n\\
n (n-1) (n-2) &... 3 2 1
\end{aligned}
Ak sčítame každé dve dvojice čísel v stĺpci, získame 1+n, 2+n-1, 3+n-2,...n+1 čo je po úprave n-krát súčet n+1. Musíme to ale ešte predeliť 2-mi pretože sme sčítali dva tieto rady.
V našom prípade nás zaujíma súčet čísel od m do n, čo sa dá vyjadriť ako 1...n a 1...(m-1). Vieme, že m je menšie ako n a tak si m-1 môžeme vyjadriť ako n-k, kde k je rovné počtu sčítancov od m do n. Súčet čísel m...n potom vieme vyjadriť ako:
\begin{aligned}
20480 &= \frac{n(n+1)}{2}-\frac{(n-k)(n-k+1)}{2}\\
&= \frac{n^2+n-n^2+nk-n+nk-k^2+k}{2}\\
&= \frac{2nk-k^2+k}{2}\\
&= \frac{k(2n-k+1)}{2}\text{ /}\cdot2\\
40960 &= k(2n-k+1)
\end{aligned}
Poďme sa teraz bližšie pozrieť na činitele k a (2n-k+1). Oba musia byť celé čísla a tak si môžeme hľadanie obmedziť na prvočíselný rozklad čísla 40960 a ich vzájomné súčiny. Rozoberieme dve možnosti, keď je k nepárny deliteľ 20480, a keď je párny.
\begin{aligned}
40960 = 2^{13}.5
\end{aligned}
Ak by k bolo nepárne: Jediné dve nepárne čísla ktoré si vieme z prvočíselného rozkladu za k dosadiť sú 1 a 5. To nám tvorí dve riešenia:
\begin{aligned}
k&=1 \Rightarrow 20480 = 20480\\
k&=5 \Rightarrow 20480 = 4094 + 4095 + 4096 + 4097 + 4098
\end{aligned}
Ak by k bolo párne: Činiteľ (2n-k+1) by musel byť nutne nepárny, pretože dve párne čísla (2n a k) po pričítaní 1 dajú nepárny výsledok. Povedzme teda, že (2n-k+1) je 1 alebo 5, potom k=40960 alebo k=8192. V oboch týchto prípadoch je k príliš vysoké na to aby sa naša postupnosť čísel skladala iba z kladných celých čísel (a teda prirodzených). Po dopočítaní n uvidíme, že sa v oboch postupnostiach vyskytujú aj záporné čísla:
\begin{aligned}
k&=40960 \Rightarrow 20480 = -20479 + (-20478) + (-20477) + ... + 20480\\
k&=8192 \Rightarrow 20480 = -4093 + (-4092) + (-4091) + ... + 4098
\end{aligned}
Odpoveď: Úloha má dve riešenia: 20480 = 4094 + 4095 + 4096 + 4097 + 4098 a 20480 = 20480
Komentár: Ak niekto neuviedol druhé z možných riešení, tak sme body nestrhávali, pretože nebolo zo zadania úplne jednoznačné či môže patriť do riešení aj postupnosť jedného čísla. Spôsobov ako vylúčiť párne k je hneď niekoľko, bohužiaľ však veľa z vás to nedotiahlo po nájdení toho jediného zaujímavého riešenia dokonca a teda dostali bodov podstatne menej, keďže to bola náročnejšia a podstatnejšia časť riešenia. Chválime však všetkých čo sa po prvej nájdenej možnosti snažili hľadať nejaké pravidlá platiace pre ostatné čísla, a nebáli sa spísať iba čiastočné riešenie.
Bodovanie: Za komentár k tomu ako ste sa k správnej odpovedi dostali cez nepárne k sa dalo získať podľa úplnosti najviac 4 body, a za dôkaz že iné riešenia, najmä pri párnom k neexistujú sa dalo získať najviac 6 bodov. Bodovanie sa samozrejme mohlo odlišovať pri špeciálnych prípadoch, a niekedy sa môže zdať trochu prísnejšie aj za menšie nedostatky, predsa len je to najťažší príklad kola.