Odporúčaný článok
Riešky výlet - Ahojte Rieškari, zoberte batohy, úsmevy, dobré nálady, lopty, hry, frisbee, kamarátov… a poďte s nami na výlet! Poprechádzame sa po Malých Karpatoch, kde pre vás máme pripravený skvelý program a … Prejsť na článok
×4. príklad - Vzorové riešenie
Kategórie:
5
6
7
8
Zadanie
Miško si rád delí svoje cukríky na kôpky. Na svoje meniny dostal od babky taký počet cukríkov, že všetky cifry v tomto počte boli rovnaké. Dokážte, že vždy pokiaľ vie takýto počet cukríkov rozdeliť na 72 rovnakých kôpok, tak ich vie rozdeliť aj na 37 rovnakých kôpok. (Pozn.: cukríky nevieme rozlomiť)
Vzorové riešenie
Opravovali: gabrielaS, martinK
Jednoduchým riešením príkladu je začať pri podmienke, že cukríky je možné rozdeliť na 72 zhodných kôpok.
Ak toto totiž platí, musí byť počet cukríkov deliteľný 8 a 9 zároveň. Ak je totiž deliteľný 8, musí platiť pravidlo deliteľnosti ôsmimi - posledné trojčísle počtu cukríkov je deliteľné ôsmimi. Nakoľko celé číslo pozostáva zo zhodných cifier, vieme si posledné trojčíslie zapísať ako 111 * C, kde C je cifra, z ktorej sa bude číslo skladať. Nakoľko 111 nie je deliteľné ôsmimi, cifra C musí byť. Cifra C je teda 8.
Teraz musíme ošetriť, aby počet cukríkov bol deliteľný deviatimi. Pravidlo deliteľnosti deviatimi znie, že číslo je deliteľné deviatimi, pokiaľ jeho ciferný súčet je. Nakoľko nám po predelení počtu cukríkov číslom 8 ostalo číslo pozostávajúce zo samých cifier 1, musí ich počet byť deliteľný deviatimi, čiže násobkom 9.
Načo nám toto bolo dobré? Stále máme dokázať, že počet cukríkov bude rozdeliteľný na 37 zhodných kôpok. Posledný trik je v tom, že platí 3 * 37 = 111 alebo 3003003 * 37 = 111 111 111. Ak mám teda 18-ciferné číslo, miesto 9-ciferného, dostal som ho ako 111 111 111 * 1 000 000 000 + 111 111 111, kde sú očividne oba sčítance deliteľné 111 111 111 a tým pádom 37.
Poznámka: Najnižší počet cukríkov, ktoré mohol Miško dostať je 888 888 888, druhý najnižší je 888 888 888 888 888 888 a každý ďaľší sa skladá iba z prirodzeného násobku 9 cifier 8.
Zistiť toto však nebol cieľ úlohy. Dokázať deliteľnosť 37 ak platia stanovené dve podmienky bol.
Ak toto totiž platí, musí byť počet cukríkov deliteľný 8 a 9 zároveň. Ak je totiž deliteľný 8, musí platiť pravidlo deliteľnosti ôsmimi - posledné trojčísle počtu cukríkov je deliteľné ôsmimi. Nakoľko celé číslo pozostáva zo zhodných cifier, vieme si posledné trojčíslie zapísať ako 111 * C, kde C je cifra, z ktorej sa bude číslo skladať. Nakoľko 111 nie je deliteľné ôsmimi, cifra C musí byť. Cifra C je teda 8.
Teraz musíme ošetriť, aby počet cukríkov bol deliteľný deviatimi. Pravidlo deliteľnosti deviatimi znie, že číslo je deliteľné deviatimi, pokiaľ jeho ciferný súčet je. Nakoľko nám po predelení počtu cukríkov číslom 8 ostalo číslo pozostávajúce zo samých cifier 1, musí ich počet byť deliteľný deviatimi, čiže násobkom 9.
Načo nám toto bolo dobré? Stále máme dokázať, že počet cukríkov bude rozdeliteľný na 37 zhodných kôpok. Posledný trik je v tom, že platí 3 * 37 = 111 alebo 3003003 * 37 = 111 111 111. Ak mám teda 18-ciferné číslo, miesto 9-ciferného, dostal som ho ako 111 111 111 * 1 000 000 000 + 111 111 111, kde sú očividne oba sčítance deliteľné 111 111 111 a tým pádom 37.
Poznámka: Najnižší počet cukríkov, ktoré mohol Miško dostať je 888 888 888, druhý najnižší je 888 888 888 888 888 888 a každý ďaľší sa skladá iba z prirodzeného násobku 9 cifier 8.
Zistiť toto však nebol cieľ úlohy. Dokázať deliteľnosť 37 ak platia stanovené dve podmienky bol.