6. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Ema s Terkou piekli koláč. Keď upiekli koláč kosodĺžnikového tvaru, chceli ho aj farebne vyzdobiť. Zvolili si bod niekde v koláči a spojili ho s vrcholmi. Vzniknuté časti vyzdobili marcipánom. Použili na to 5 balení modrého marcipánu, 8 balení žltého a 6 balení zeleného marcipánu. Koľko balení červeného marcipánu majú kúpiť, aby im žiaden neostal, ani nechýbal? V obrázku sú vyznačené obsahy daných častí koláča. Časť s červeným marcipánom je označená otáznikom.

Vzorové riešenie

Opravovali: mišo

Obr. 1: Označenie strán a výšky

Označme si strany rovnobežníka a, b ako na obrázku. Výšku rovnobežníka na stranu a označím v. Obsah rovnobežníka viem potom vypočítať ako a \cdot v.

Obr. 2: Výšky v trojuhlníkoch

Pozrime sa teraz na trojuholníky s obsahmi 8 a ?. Ich základne, ktoré sú zároveň stranami rovnobežníka, majú rovnakú dĺžku. Výšky na túto stranu pomenujem v_1 pre trojuholník s obsahom ? a v_2 pre trojuholník s obsahom 8. Tieto obsahy vieme vyjadriť ako:
8 = \dfrac{a \cdot v_2}{2}
? = \dfrac{a \cdot v_1}{2}
Súčet ich obsahov teda bude:
8 + ? = \dfrac{a \cdot v_2}{2} + \dfrac{a \cdot v_1}{2} = \dfrac{a \cdot v_1 + a \cdot v_2}{2} = \dfrac{a \cdot \left(v_1 + v_2 \right)}{2}
Vráťme sa späť k druhému obrázku. Vidíme, že výšky v_1, v_2 sú kolmé na protiľahlé strany rovnobežníka. Taktiež vidíme, že sa stretajú v jednom bode. Ich spojením teda dostaneme výšku na stranu a v našom rovnobežníku - v. My teda vieme, že obsah našich dvoch trojuholníkov je 8 + ? = \dfrac{a \cdot \left(v_1 + v_2 \right)}{2} = \dfrac{a \cdot v}{2}, čo je polovica obsahu nášho rovnobežníka.
Aký má teda obsah celý náš rovnobežník? Keď sme práve zistili polovicu obsahu, vieme povedať, že celý obsah bude 2 \cdot \left(8 + ?\right). Keďže je však v zadaní rozdelený na štyri trojuholníky, vieme ten istý obsah vyjadriť aj ako súčet obsahov týchto menších trojuholníkov: 5 + 8 + 6 + ?. Obe hodnoty sú obsahom rovnobežníka, takže sa musia rovnať.
\begin{aligned} 2 \cdot \left(8 + ?\right) &= 5 + 8 + 6 + ?\\ 2 \cdot 8 + 2 \cdot ? &= 5 + 8 + 6 + ?\\ 8 + ? &= 5 + 6\\ ? &= 5 + 6 - 8\\ ? &= 3 \end{aligned}
Obsah časti označenej otáznikom je 3. Ema s Terkou teda musia kúpiť 3 balenia červeného marcipánu.