3. príklad - Vzorové riešenie
Kategórie:
5
6
7
Zadanie
Tony sa chcel naobedovať a tak si na trhu kúpil sto vecí dokopy za sto dukátov. Šálka stojí \frac{7}{2} dukátu, Repa stojí \frac{4}{3} dukátu a Šošovička stojí \frac{1}{2} dukátu. Koľko čoho si Tony na trhu kúpil?
Vzorové riešenie
Opravovali: Pajty, Teri, kuboW
Najprv si označíme počet kúpených šálok ako x, počet riep ako y a počet šošovičky ako z. Potom musí platiť:
100=x+y+z
Z toho si vyjadríme z:
z=100 -x -y
Teraz si rovnicou vyjadríme, koľko dukátov Tony minie, keď vieme, že dokopy má minúť 100 dukátov. Rovnica pre dukáty bude potom vyzerať nasledovne:
100= \frac{7}{2}\cdot x + \frac{4}{3}\cdot y +\frac{1}{2}\cdot z
Do tejto rovnice dosadíme za z výraz, ktorý sme si vyjadrili vyššie a rovnicu budeme ďalej upravovať takto:
Keďže Tony kupoval iba celý počet šálok, riep a šošovičiek tak \frac{18}{5}x musí byť celé číslo. To docielime iba tak, že x bude deliteľné piatimi. Potom x môže byť iba 0, 5, 10 alebo 15. X nemôže byť väčšie ako 15, lebo ak by sme si za x dosadili 20 (najmenšie možné ďalšie číslo, ktoré je deliteľné piatimi) tak y=60-\frac{18}{5}\cdot20 \Rightarrow y=60-72= -12 a to je záporné číslo (záporny počet riep si nemôže kúpiť). Čiže ak by bolo x>15, tak by počet riep vyšiel záporný a to sa nemôže stať.
Teraz prejdeme všetkými možnosťami x:
Ak by bolo x=0, tak y = 60-\frac{18}{5}\cdot0 = 60 a z = 100-0-60=40
Ak by bolo x=5, tak y = 60-\frac{18}{5}\cdot5=60-18=42 a z=100-5-42=53
Ak by bolo x=10, tak y = 60-\frac{18}{5}\cdot10=60-36=24 a z=100-10-24=66
Ak by bolo x=15, tak y = 60-\frac{18}{5}\cdot15=60-54=6 a z=100-15-6=92
Možnosti, ako mohol Tony na trhu nakúpiť:
1. 0 šálok, 60 riep a 40 šošovičiek
2. 5 šálok, 42 riep a 53 šošovičiek
3. 10 šálok, 24 riep a 66 šošovičiek
4. 15 šálok, 6 riep a 79 šošovičiek
100=x+y+z
Z toho si vyjadríme z:
z=100 -x -y
Teraz si rovnicou vyjadríme, koľko dukátov Tony minie, keď vieme, že dokopy má minúť 100 dukátov. Rovnica pre dukáty bude potom vyzerať nasledovne:
100= \frac{7}{2}\cdot x + \frac{4}{3}\cdot y +\frac{1}{2}\cdot z
Do tejto rovnice dosadíme za z výraz, ktorý sme si vyjadrili vyššie a rovnicu budeme ďalej upravovať takto:
\begin{aligned}
\frac{7}{2}\cdot x + \frac{4}{3}\cdot y + \frac{1}{2}\cdot (100-x-y) &= 100\\
21x+8y+300-3x-3y&=600\\
18x+5y&=300\\
5y&=300-18x\\
y&=60-\frac{18}{5}x
\end{aligned}
Keďže Tony kupoval iba celý počet šálok, riep a šošovičiek tak \frac{18}{5}x musí byť celé číslo. To docielime iba tak, že x bude deliteľné piatimi. Potom x môže byť iba 0, 5, 10 alebo 15. X nemôže byť väčšie ako 15, lebo ak by sme si za x dosadili 20 (najmenšie možné ďalšie číslo, ktoré je deliteľné piatimi) tak y=60-\frac{18}{5}\cdot20 \Rightarrow y=60-72= -12 a to je záporné číslo (záporny počet riep si nemôže kúpiť). Čiže ak by bolo x>15, tak by počet riep vyšiel záporný a to sa nemôže stať.
Teraz prejdeme všetkými možnosťami x:
Ak by bolo x=0, tak y = 60-\frac{18}{5}\cdot0 = 60 a z = 100-0-60=40
Ak by bolo x=5, tak y = 60-\frac{18}{5}\cdot5=60-18=42 a z=100-5-42=53
Ak by bolo x=10, tak y = 60-\frac{18}{5}\cdot10=60-36=24 a z=100-10-24=66
Ak by bolo x=15, tak y = 60-\frac{18}{5}\cdot15=60-54=6 a z=100-15-6=92
Možnosti, ako mohol Tony na trhu nakúpiť:
1. 0 šálok, 60 riep a 40 šošovičiek
2. 5 šálok, 42 riep a 53 šošovičiek
3. 10 šálok, 24 riep a 66 šošovičiek
4. 15 šálok, 6 riep a 79 šošovičiek