5. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Hra vyzerala asi takto. Na papieri bolo napísaných niekoľko kladných celých čísel. Miška si pamätala iba to, že každé číslo bolo polovicou súčtu všetkých ostatných čísel. Koľko čísel mohlo byť napísaných na papieri?

Vzorové riešenie

Opravovali: Imro, Teri, adam, timka
Vieme, že ktorékoľvek číslo na papieri sa rovná polovici súčtu všetkých zvyšných čísel. Z čoho vyplýva, že každé, číslo sa rovná tretine súčtu všetkých čísel na papieri. Teraz si ukážeme prečo.
Súčet všetkých čísel na papieri si označíme s a vyberieme si dve ľubovoľné čísla z papiera budú to a a b. Potom platí:
a=\frac{s-a}{2}
2a=s-a
3a=s
a=\frac{s}{3} (1)
b=\frac{s-b}{2}
2b=s-b
3b=s
b=\frac{s}{3} (2)
\newline

Vidíme, že aj v rovnici (1) aj v rovnici (2) máme na pravej strane \frac{s}{3}. Keďže sa rovnajú práve strany týchto rovníc, tak sa rovnajú aj ich ľavé strany a teda musí platiť, že a=b.
Keďže sme si zobrali dve ľubovoľné čísla a zistili sme, že sa rovnajú, tak sa musia rovnať všetky čísla napísané na papieri.
Teda vieme, že na papieri máme n rovnakých čísel s nejakou hodnotou x. Potom súčet všetkých týchto čísel je n \cdot x. A keďže je každé číslo polovicou súčtu ostatných čísel, tak platí:
x=\frac{s-x}{2}
x=\frac{n \cdot x-x}{2}
2x=n \cdot x-x
3x=n \cdot x \newline
Keďže vieme, že x je celé kladné číslo,
tak ním môžeme vydeliť (lebo sa nerovná 0)
\newline \underline{\underline{n=3}}
Vidíme, že jediná možnosť, kedy by nám podmienka zo zadania sedela je, keď budeme mať na papieri napísane 3 rovnaké čísla.