Odporúčaný článok

Letné akcie a koronavírus - Milí Ušiaci, rodičia, vzhľadom na pandémiu koronavíru a jej dopadu na organizovanie hromadných akcií, sme boli nútení zmeniť … Prejsť na článok

×
Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

\displaystyle \_ x + \_y + \_z=0 \\ \_ x + \_y + \_z=0 \\ \_ x + \_y + \_z=0

Situácia našich hrdinov je vlastne sústava troch rovníc. Začínajú hrdinovia a následne sa s Jergušom striedajú v ťahoch. V každom ťahu môže niekto doplniť na jedno prázdne miesto v sústave ľubovoľné reálne číslo. Dokážte, že hrdinovia vedia zaručiť, že na konci bude mať ich situácia nenulové riešenie.

Vzorové riešenie

Opravovali: mišo
Riešenie 1:

Cieľom hrdinov je hrať tak, aby sústava mala na konci aj iné riešenie ako x = y = z = 0. Našou úlohou teda je nájsť víťaznú stratégiu pre hrdinov. Ak takú nájdeme, máme dokázané, že hrdinovia vedia hrať tak, aby splnili svoj cieľ. Tiež je nám jedno, aké bude toto nenulové riešenie, len nejaké musí byť. Zvoľme si teda jedno konkrétne riešenie a zistime ako musia hrdinovia ťahať, aby sa k nemu dostali.

Pre jednoduchosť zvolíme riešenie x = y = z = 1. Pozrime sa teda, čo musí platiť pre nejakú rovnicu s koeficientami a,\, b,\, c a riešením so samými jednotkami.

a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 1 = 0
a + b + c = 0

Hrdinovia teda potrebujú, aby súčet doplnených čísel v každom riadku bol rovný 0. To vedia veľmi ľahko zariadiť, pokiaľ doplnia posledné číslo v danej rovnici. Ak sú už nejaké dve čísla a,\, b doplnené, doplnia c = -(a+b). Podobne však vie Jerguš zariadiť, aby súčet nebol 0. Stačí mu doplniť posledné číslo, iné ako to, ktoré by doplnili hrdinovia.

Pozrime sa teda, ako majú hrdinovia postupovať, aby v každej rovnici doplnili posledné číslo. V prvom kroku doplnia ľubovoľné prvé číslo do niektorej rovnice, bez újmy na všeobecnosti, nech je to prvá. Jerguš teraz môže doplniť buď do rovnakej ako hrdinovia, alebo do inej.

Ak doplnil do rovnakej, už sú v danej rovnici dve čísla. Hrdinovia do nej musia doplniť posledné, inak by im Jerguš mohol prekaziť plány. Tu si môžeme všimnúť, že ak by hrdinovia niekedy doplinili do rovnice druhé číslo, Jerguš im dokáže pokaziť ich plány. Ak je teda prvá rovnica celá vyplnená, Jerguš umistni číslo do niektorej z dvoch zvyšných a hrdinovia doplnia do poslednej. Potom Jerguš bude musieť doplniť druhé číslo do niektorej rovnice a hrdinovia doplnia posledné. To isté sa zopakuje aj pri poslednej rovnici.

Ak Jerguš doplnil vo svojom prvom ťahu do inej rovnice, vieme už, že hrdinovia musia doplniť do zvyšnej. Nesmú totiž v žiadnej doplniť druhé číslo. Potom sa dostáva Jerguš opäť do pozície, kde musí do niektorej rovnice doplniť druhé číslo. Hrdinovia potom doplnia v danej rovnici posledné číslo tak, aby súčet doplnených čísel vyšiel 0. Jerguš bude mať opäť rovnakú situáciu, keďže v rovniaciach, ktoré ešte nie sú doplnené, bude len jedno doplnené. Jerguš tak aj do zvyšných dvoch rovníc doplní druhé číslo a hrdinovia hneď za ním to posledné.


Riešenie 2:

Vieme, že pokiaľ by mala sústava rovníc iba dve rovnice o troch neznámych, vyšlo by nám buď nekonečne veľa riešení, alebo žiadne. Keďže v tomto prípade existuje riešenie x = y = z = 0, bude platiť druhá možnosť. Sústava teda bude mať aj iné riešenie a teda aj nenulové. Ako spraviť z troch rovníc iba dve? Najjednoduchšie spôsoby sú vynulovať jednu celú rovnicu alebo zariadiť, aby jedna rovnica bola násobkom druhej. My sa pokúsime nájsť spôsob, ako s hrdinami zariadiť druhý prípad z týchto.

Povedzme, že chceme, aby druhá rovnica bola k-násobkom prvej. Hrdinom je potom jedno, ako bude vyzerať tretia rovnica. V prvom kroku teda doplnia ľubovoľné číslo práve do tretej rovnice. Zvyšné miesta potom tvoria štyri dvojice: koeficienty pred x v prvých dvoch rovniciach, koeficienty pred y v prvých dvoch rovniciach, koeficienty pred z v prvých dvoch rovniciach a zvyšné dva koeficienty v tretej rovnici. Ak Jerguš doplní číslo na niektoré miesto, hrdinovia vedia vždy doplniť miesto, ktoré je s ním v dvojici. Ak je táto dvojica v tretej rovnici, môžu doplniť ľubovoľne. Ak dopĺňajú v druhom riadku, chcú doplniť číslo k-krát väčšie ako Jerguš doplnil v prvom. Naopak ak dopĺňajú v prvom riadku, chcú doplniť číslo k-krát menšie ako je v druhom riadku.

Vidíme, že koeficienty v druhej rovnici sú k-násobkami koeficientov prvej rovnice. Keďže navyše 0 \cdot k = 0, vidíme, že na voľbe k nezávisí, pokiaľ sa ním dá násobiť a deliť. Hrdinovia si tak môžu vybrať ľubovoľné reálne číslo okrem 0 a zaistia si výhru.


Komentár:

Úloha sa dala riešiť aj inými spôsobmi. Napríklad vedeli hrdinovia zariadiť, aby bola buď jedna rovnica nulová alebo jedna premenná mala pred sebou iba nuly. Výsledných sústav, ktoré mohli hrdinovia dosiahnuť bolo naozaj veľa, všetky riešenia však potrebovali zopár základných vecí:

  • vysvetlenie, prečo takáto sústava má aj iné riešenie ako samé nuly;
  • popis, ako sa k danej sústave dostanú. Tu trebalo popísať nielen kam, ale aj aké čísla hrdinovia dopĺňajú. Rovnako bolo nutné počítať s tým, že Jerguš hrdinom pomáhať nemusí.
Väčšina z vás úlohu skvelo zvládla, až na nejaké chybičky pri vysvetľovaní. Ak ste stratili viac bodov, pravdepodobne ste mali chybu v niektorej z vyššie popísaných častí, prípadne vám niektorá chýbala úplne.