Odporúčaný článok

Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok

×

3. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7

Zadanie

Na displeji bomby je vždy nejaké nezáporné celé číslo. Každú minútu bomba vynásobí všetky cifry tohto čísla a výsledok sa stane novým číslom na displeji. Bomba vybuchne v momente, keď sa na displeji zjaví jednociferné číslo. Napríklad ak je na displeji číslo 732, po jednej minúte bude nahradené číslom 7 \cdot 3 \cdot 2 = 42, a po druhej minúte číslom 4 \cdot 2 = 8, teda po dvoch minútach bomba vybuchne.
  • Nájdite najväčšie nepárne číslo na displeji také, aby malo všetky cifry rôzne a bomba vybuchla už po jednej minúte.
  • Nájdite najväčšie párne číslo na displeji také, aby malo všetky cifry nenulové a rôzne a bomba vybuchla už po jednej minúte.
  • Nájdite najmenšie prirodzené číslo na displeji také, aby bomba vybuchla po troch minútach.

Vzorové riešenie

Opravovali: Paľo, elusq

Riešenie: Najprv sa pozrieme na prvú časť príkladu. Ako prvé je potrebné uvedomiť si, že nás zaujímajú iba jednociferné súčiny cifier, teda keď vynásobíme cifry nejakého čísla tak dostaneme číslo od 0 do 9 vrátane. Dôležitou myšlienkou na začiatok je, že ak máme v ľubovoľnom súčine číslo 0, výsledok tohto súčinu bude 0. Teda keď číslo obsahuje nulovú cifru, je jedno koľko a aké budú ostatné cifry, ciferný súčin bude vždy 0. Potrebujeme nájsť najväčšie číslo také, aby sa jeho cifry neopakovali. Keďže čím má číslo viac cifier, tým je väčšie, chceme aby nami hľadané číslo malo čo najviac cifier. Preto každú cifru použijeme práve raz. Aby bolo číslo čo najväčšie, musia byť čo najväčšie cifry na čo najväčších pozíciach, teda usporiadame cifry od najväčšej po najmenšiu a dostaneme číslo 9876543210. Toto číslo je ale párne, preto musí byť jednotka na mieste jednotiek, teda hľadaným číslom je 9876543201.

Teraz sa presuňme na druhú časť. V tejto časti máme vytvoriť čo najväčšie číslo, ktoré neobsahuje cifru nula a má všetky cifry navzájom rôzne. To znamená, že štyri ani viac cifier mať nemôže, lebo súčin štyroch - aj najmenších cifier je 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 a teda by to po prvej minúte nevybuchlo. Skúsme teda nájsť nejaké trojciferné číslo.

Toto číslo má byť párne, teda jeho posledná cifra je aspoň 2. To ale znamená, že ak by malo ktorúkoľvek cifru 5 alebo viac, tak by súčin už vyšiel aspoň 10, čo je veľa. Výber cifier sa teda zmenšil na tri cifry z \lbrace 1, 2, 3, 4 \rbrace. Pozrime sa na všetky štyri možné trojice cifier, teda 123, 124, 134, 234. Ciferný súčin sa zmenou poradia nemení. Navyše kombinácie 134 a 234 dávajú dvojciferný súčin cifier. Z možností trojíc 123, 124 vieme vytvoriť šesť párnych čísel, a to presne 132, 312, 124, 142, 214, 412. Z týchto najväčšie je 412 a ako ľahko overíme, že toto číslo naozaj po prvej minúte vybuchne.

Nakoniec tretia časť. Všimnime si, že ak je naše číslo 55, tak máme sled 55 \to 25 \to 10 \to 0. Preto riešenie v tejto časti je NAJVIAC 55. Ešte treba overiť, či náhodou neexistuje riešenie, ktoré je ešte menšie.

Poďme teda od najmenších čísel:
  • Jednociferné naše číslo zjavne nemôže byť, lebo vybuchuje hneď.
  • Čísla 10 až 19 sa po prvej minúte zmenia na svoju cifru jednotiek, pretože platí 1 \cdot c = c.
  • Čísla 20 až 24 majú ciferný súčin jednociferné číslo a teda nevyhovujú.
  • Ďalej čísla 25 až 29, tie majú ciferný súčin medzi 10 a 19 a teda už v druhej minúte vybuchnú.
  • Čísla 30 až 33 majú ciferný súčin jednociferné číslo a teda nevyhovujú.
  • Ďalej už iba skúšame:
  • 34 \to 12 \to 2 - to je zle, iba 2 minúty
  • 35 \to 15 \to 5 - to je zle, iba 2 minúty
  • 36 \to 18 \to 8 - to je zle, iba 2 minuty
  • 37 \to 21 \to 2 - to je zle, iba 2 minúty
  • 38 \to 24 \to 8 - to je zle, iba 2 minúty
  • 39 \to 27 \to 14 \to 4 - toto vyhovuje!!

Keďže sme overili všetky menšie čísla, tak 39 je určite najmenšie. Máme teda hotovo.

Odpoveď: Pekne po častiach, správne čísla sú 9876543201, 412, 39.