Riešky výlet - Ahojte Rieškari, zoberte batohy, úsmevy, dobré nálady, lopty, hry, frisbee, kamarátov… a poďte s nami na výlet! Poprechádzame sa po Malých Karpatoch, kde pre vás máme pripravený skvelý program a … Prejsť na článok
×2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Les má veľmi zvláštny tvar. Určte všetky možné X a Y, ak viete, že sú to celé čísla, všetky uhly medzi susednými stranami sú pravé, čiara ohraničujúca les sa nepretína ani sa nedotýka samej seba. Náčrt je iba orientačný, jedine čísla sú presné.
Vzorové riešenie
Vzorové riešenie:
Keďže všetky uhly na obrázku sú pravé, tak útvar ABCD je obdĺžnik. Preto |AB|=|DC|. Veľkosti AB a DC, však vieme vyčítať z obrázku.
2 \cdot Y+2=|DC|=|AB|=X+Z+15
X+Z+15=2 \cdot Y+2
Teraz môžeme vyjadriť veľkosť Z. K tomu nám pomôže útvar EFGH, ktorý je obdĺžnikom. Preto vieme, že |EF|=|GH|. Ich veľkosť je znovu na obrázku:
Z+3=|EF|=|GH|=8
8=Z+3
5=Z
To môžeme dosadiť do skoršej rovnice:
X+Z+15=2 \cdot Y+2
X+5+15=2 \cdot Y+2
X=2 \cdot Y-18
Teraz na pravej strane máme rozdiel dvoch párnych čísel, ten je vždy párny. Keďže ľavá a pravá strana sa rovnajú, tak môžeme povedať, že aj ľavá strana, X, je párna.
Druhé kľúčové pozorovanie bolo, že Y-1 \geq X, na toto sa dalo prísť pri pohľade na stranu GH a CB, keby X \geq Y, tak strana HG by sa dotýkala, alebo by sa krížila zo stranou DC. My však vieme, že X je to isté ako 2 \cdot Y-18, a teda aj 2 \cdot Y-18, musí byť menšie alebo rovné ako Y-1:
X=2 \cdot Y-18
Y-1 \geq X
Y-1 \geq 2 \cdot Y-18
17 \geq Y
Teraz sa pozrime na ľavý dolný roh:
1. možnosť: Úsečka HE nemôže byť vedľa toho ľavého cípiku, lebo je od ľavej strany toho obdĺžnika vzdialená X – 3 a ten cípik je od ľavej strany vzdialený X – 2, ich vzájomná vzdialenosť je teda:
X-3-(X-2)=-1
Môžeme teda vidieť, že by sa prekryli.
2. možnosť: Úsečka HE nemôže byť ani pod tým cípikom, lebo buď by sa HG dotýkalo spodnej steny toho ľavého cípiku, pre X = 3, alebo by sa EF dotýkalo AB, pre X = 2.
3. možnosť Aby teda EH bolo nad tým cípikom, tak X>12, lebo:
X-2>6+4
X>12
Jediné párne hodnoty X, ktoré nám ostávajú sú X=14 a X=16 . K nim si dopočítame hodnoty Y, dostaneme Y=16 a Y=17. Oba prípady overíme obrázkom.
Pre dvojicu X=14 a Y=16 , to vizerá takto:
Pre dvojicu X=16 a Y=17 , to vizerá takto:
Celkovo väčšina z vás to veľmi pekne zvládla, občas tam boli dáke drobnosti.