Kategórie:
5
6

Zadanie

Les má veľmi zvláštny tvar. Určte všetky možné X a Y, ak viete, že sú to celé čísla, všetky uhly medzi susednými stranami sú pravé, čiara ohraničujúca les sa nepretína ani sa nedotýka samej seba. Náčrt je iba orientačný, jedine čísla sú presné.

Vzorové riešenie

Opravovali: Teri, mati

Vzorové riešenie:

Keďže všetky uhly na obrázku sú pravé, tak útvar ABCD je obdĺžnik. Preto |AB|=|DC|. Veľkosti AB a DC, však vieme vyčítať z obrázku.

2 \cdot Y+2=|DC|=|AB|=X+Z+15

X+Z+15=2 \cdot Y+2

Teraz môžeme vyjadriť veľkosť Z. K tomu nám pomôže útvar EFGH, ktorý je obdĺžnikom. Preto vieme, že |EF|=|GH|. Ich veľkosť je znovu na obrázku:

Z+3=|EF|=|GH|=8

8=Z+3

5=Z

To môžeme dosadiť do skoršej rovnice:

X+Z+15=2 \cdot Y+2

X+5+15=2 \cdot Y+2

X=2 \cdot Y-18

Teraz na pravej strane máme rozdiel dvoch párnych čísel, ten je vždy párny. Keďže ľavá a pravá strana sa rovnajú, tak môžeme povedať, že aj ľavá strana, X, je párna.

Druhé kľúčové pozorovanie bolo, že Y-1 \geq X, na toto sa dalo prísť pri pohľade na stranu GH a CB, keby X \geq Y, tak strana HG by sa dotýkala, alebo by sa krížila zo stranou DC. My však vieme, že X je to isté ako 2 \cdot Y-18, a teda aj 2 \cdot Y-18, musí byť menšie alebo rovné ako Y-1:

X=2 \cdot Y-18

Y-1 \geq X

Y-1 \geq 2 \cdot Y-18

17 \geq Y

Teraz sa pozrime na ľavý dolný roh:

1. možnosť: Úsečka HE nemôže byť vedľa toho ľavého cípiku, lebo je od ľavej strany toho obdĺžnika vzdialená X – 3 a ten cípik je od ľavej strany vzdialený X – 2, ich vzájomná vzdialenosť je teda:

X-3-(X-2)=-1

Môžeme teda vidieť, že by sa prekryli.

2. možnosť: Úsečka HE nemôže byť ani pod tým cípikom, lebo buď by sa HG dotýkalo spodnej steny toho ľavého cípiku, pre X = 3, alebo by sa EF dotýkalo AB, pre X = 2.

3. možnosť Aby teda EH bolo nad tým cípikom, tak X>12, lebo:

X-2>6+4

X>12

Jediné párne hodnoty X, ktoré nám ostávajú sú X=14 a X=16 . K nim si dopočítame hodnoty Y, dostaneme Y=16 a Y=17. Oba prípady overíme obrázkom.

Pre dvojicu X=14 a Y=16 , to vizerá takto:

Pre dvojicu X=16 a Y=17 , to vizerá takto:

Celkovo väčšina z vás to veľmi pekne zvládla, občas tam boli dáke drobnosti.