8. príklad - Vzorové riešenie

Na začiatok bude dobré si uvedomiť, koľko rôznych kariet vlastne obsahuje setový balíček. Keďže každá karta má práve 4 vlastností a každá táto vlastnosť môže nadobúdať tri rôzne stavy, tak celkový počet rôznych kariet vieme vypočítať ako 3^4=81.

Teda vieme, že celkový počet setových kariet je 81. Nás však viac zaujíma, koľko je medzi nimi modrých kariet a koľko rôznych setov z nich vieme vytvoriť. Keďže máme tri rôzne farby, modrých kariet bude presne tretina z celkového počtu, čiže 27.

Teraz sa zamyslime. V akých rôznych setoch môže byť modrá karta? Buď v takých, ktoré obsahujú všetky karty modré alebo všetky majú. rozličnú farbu. Nemôžeme mať teda napríklad set obsahujúci modrú, zelenú a zelenú kartu, lebo by sa porušovalo pravidlo, že majú buď všetky znaky rovnaké alebo všetky rozdielne.

Ďalšie dôležité uvedomenie si je, že ak už sme si určili dve karty, z ktorých chceme vyskladať set, tak tretia karta nám už je jednoznačne daná. Ukážme si to na príklade:

Máme dve kartičky, jedná má na sebe 2 modré vyšrafované štvorce, druhá 2 červené plné štvorce tak ako bude vyzerať tretia? Postupne sa pozrime na vlastnosti akú by mala táto tretia karta spĺňať. Keďže obe kartičky majú rovnaký počet (2) tak aj tretia kartička musí mať počet 2. Prečo? Lebo ak by tam bol iný počet tak by to nebol platný set – neboli by všetky počty rovnaké alebo všetky počty rozdielne. Farba, prvá kartička má modrú farbu, druhá červenú tak aká musí byť tretia farba? Zelená, lebo keď už sa nám v prvých dvoch kartách nezhodujú farby nemôžu sa ani v tretej. Takto podobne zistíme, že výplň musí byť prázdna a tvar musí byť štvorec.

Teraz s týmito poznatkami sa vrhnime do riešenia úlohy.

Rozdeľme si to teda na dva prípady. Najskôr si vypočítame všetky sety, ktoré majú len jednu modrú kartu, a potom všetky sety, ktoré majú všetky karty modré.

Sety ktoré majú len jednu kartu modrú majú na výber z 27 modrých kariet. Potom k tejto modrej karte pridáme nejakú „nemodrú“ čiže jednu z 81-27=54 kariet. Tretia nám už je jednoznačne určená. Takže máme 27\cdot54=1458 setov. Toto však nie je správne riešenie, lebo máme tu všetky sety započítané dvakrát. Ak si označíme kartičky ako A,B,C tak jedna možnosť je, že sme si najprv vybrali A ako modrú kartičku, ako druhú sme si vybrali B a C sme doplnili tak ako bolo spomenuté vyššie. Druhá možnosť je že ako druhú sme si vybrali C a B sme doplnili. Obe možnosti ale dávajú rovnaký set ABC. Takže celkový počet setov s jednou modrou kartou je 27\cdot54\div2=729.

Sety ktoré obsahujú len modrú kartu. Koľkými možnými spôsobmi vieme z 27 kariet urobiť dvojicu (potom tá posledná karta je už jednoznačne určená)? Zvolíme si jednu karitčku a k nej druhú zo zvyšných. Potom výsledok vydelíme 2, keďže na poradí nezáleží. 27\cdot26\div2 = 351. Teraz si už stačí len uvedomiť, že každému setu zodpovedajú tri rôzne výbery 2 kariet. (Majme napríklad set pozostávajúci z kariet A, B a C. Tomuto setu zodpovedajú výbery: AB, AC a BC.) Aby sme dostali celkový počet modrých setov, musíme ešte číslo 351 predeliť tromi, čím dostaneme finálny počet modrých setov 117.

729+117=846

Takže počet platných setov s aspoň jednou modrou kartou je 846.

Iné riešenie:

Využijeme všetky poznatky ktoré sme si povedali, ale dostaneme sa k výsledku s pomocou kombinačných čísel. Koľko je všetkých možných setov? Vyberieme si najskôr jednu dvojicu kariet a tretia nám už je jednoznačne daná. Takže všetkých dvojíc je \displaystyle {81 \choose 2} čo je 3240. Taktiež si musíme uvedomiť, že každému setu zodpovedajú tri rôzne výbery 2 kariet. (Majme napríklad set pozostávajúci z kariet A, B a C. Tomuto setu zodpovedajú výbery: AB, AC a BC.) Takže toto číslo musíme ešte predeliť 3. Takto dostaneme, že všetkých setov je 3240/3=1080.

Čo sú vlastne všetky sety obsahujúce aspoň jednu modrú kartu? Všetky sety bez čisto zelených a čisto červených. Počet len zelených a len červených je pochopiteľne rovnaký ako len modrých, čo sme si ukázali v predošlej časti riešenia čiže 117 možností.

1080-117-117=846

Takže aj za pomoci takéhoto riešenia sme sa dostali k rovnakému výsledku, 846.

Ešte iné riešenie:

Tentokrát sa zvlášť pozrieme na jednotlivé vlastnosti.

Aké počty môžu byť na kartách aby bol set platný?
Jedna možnosť je, že budú všade rovnaké a v tom prípade máme 3 možnosti (všetky 1, všetky 2, všetky 3).
Druhá možnosť je, že budú rôzne a vtedy máme 6 možností toho ktorá karta má ktorý počet (123, 132, 213, 231, 312, 321).
Dokopy teda 9 možností.

Rovnako je to pre tvar a výplň. Pri farbe je to podobne len v prípade, že sú všetky rovnakej farby, musia byť modré a teda tu je len 7 možností.

Všimnime si, že tieto vlastnosti sú na sebe nezávislé a teda celkový počet možností dostaneme tak, že počty možností pre jednotlivé vlastnosti vynásobíme.

9\cdot9\cdot9\cdot7=5103

Toto sa nezhoduje s našimi predchadzajúcimi výsledkami. To znamená, že niečo sme museli započítať navyše. Napríklad možnosti kde sú všetky karty rovnaké. Počet takýchto možností je toľko, koľko je modrých kariet, teda 27.

5103-27=5076

Stále to nevyzerá ako správny výsledok. Problém totiž je, že sme viackrát započítali rovnaké sety. Ak si karty označíme A,B,C tak set ABC sme započítali ako ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, teda šesťkrát. Preto musíme náš výsledok ešte vydeliť 6.

5076/6=846