3. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7

Zadanie

Kráľ Michal VII má vo svojej stajni 8 najlepších koní, ktorých mená sú Pejko I, Pejko II, Pejko III a tak ďalej až po Pejka VIII (teda každý kôň má iné číslo od 1 do 8). Tieto kone sú usporiadané v nejakom poradí, pričom platí, že:
  • číslo každého z koní, okrem prvých dvoch, vynásobené samým sebou je väčšie ako súčet čísel dvoch predchádzajúcich koní
  • číslo každého z koní, okrem posledných dvoch, je menšie, rovné, alebo nanajvýš o 2 väčšie ako súčet čísel nasledujúcich dvoch koní.
Kde všade v poradí sa môže nachádzať Paulov obľúbený kôň Pejko II?

Vzorové riešenie

Opravovali: Paľo, mati

Pozrime sa na to, ako koňa Pejko II obmedzuje prvá podmienka (t.j. číslo každého z koní, okrem prvých dvoch, vynásobené samým sebou je väčšie ako súčet čísel dvoch predchádzajúcich koní). Ak sa Pejko II nachádza na prvej alebo druhej pozícii, všetko je v poriadku, lebo táto podmienka sa na tie dve pozície nevzťahuje. Ak sa Pejko II nachádza kdekoľvek inde, tak musí platiť, že súčet čísel dvoch predchádzajúcich koní je OSTRO menší ako 2 \cdot 2 = 4. Najmenšie dve čísla, ktoré môžu byť pred Pejkom II, sú čísla 1, 3. Lenže, už aj tieto najmenšie dve nám porušujú zadané pravidlo.

A samozrejme, dať tesne pred Pejka II väčšie čísla nám nijako nezlepší situáciu. Preto, podľa prvej podmienky, Pejko II smie byť iba na pozíciách číslo jeden alebo dva. Ak by sme teraz našli poradia, v ktorých sa Pejko II vyskytuje na práve týchto pozíciách (a obe zadané podmienky sú dodržané), tak sme vyhrali.

Uvážme najprv poradie 1,2,3,4,5,6,7,8. Prvá podmienka:
  • 1 + 2 = 3 \lt 9 = 3 \cdot 3
  • 2 + 3 = 5 \lt 16 = 4 \cdot 4
  • 3 + 4 = 7 \lt 25 = 5 \cdot 5
  • 4 + 5 = 9 \lt 36 = 6 \cdot 6
  • 5 + 6 = 11 \lt 49 = 7 \cdot 7
  • 6 + 7 = 13 \lt 64 = 8 \cdot 8
A druhá podmienka:
  • 1 \lt 5 = 2 + 3
  • 2 \lt 7 = 3 + 4
  • 3 \lt 9 = 4 + 5
  • 4 \lt 11 = 5 + 6
  • 5 \lt 13 = 6 + 7
  • 6 \lt 15 = 7 + 8

Vidíme, že všetko sedí. Takže Pejko II môže byť na druhej pozícii.
Teraz uvážme (a overme) poradie 2,1,3,4,5,6,7,8.

Prvá podmienka:
  • 2 + 1 = 3 \lt 9 = 3 \cdot 3
  • 1 + 3 = 4 \lt 16 = 4 \cdot 4
  • 3 + 4 = 7 \lt 25 = 5 \cdot 5
  • 4 + 5 = 9 \lt 36 = 6 \cdot 6
  • 5 + 6 = 11 \lt 49 = 7 \cdot 7
  • 6 + 7 = 13 \lt 64 = 8 \cdot 8
A druhá podmienka:
  • 2 \lt 4 = 1 + 3
  • 1 \lt 7 = 3 + 4
  • 3 \lt 9 = 4 + 5
  • 4 \lt 11 = 5 + 6
  • 5 \lt 13 = 6 + 7
  • 6 \lt 15 = 7 + 8

Vidíme, že aj toto poradie vyhovuje. Tým sme ukázali, že na jediných povelených pozíciách (t.j. prvej a druhej pozícii) sa Pejko II môže nachádzať.

Odpoveď: Pejko II sa mohol nachádzať v poradí na prvom alebo druhom mieste.