Zadania 1. kola
Danko, Macker a Merlin čakajú na autobus. Padá na nich sneh, prepletený kvapkami dažďu. Merlin si dá dole čiapku a nasadí ju trasúcemu sa Dankovi, ktorý má na sebe teraz už tretiu čiapku a cez vrstvy oblečenia mu ledva vidno oči. „Počujte, aj mne začína byť zima,“ preruší zvuk drkotania zubov Macker. „Poďme si zahrať hru, to nás hádam zahreje.“
1. príklad
Danko, Macker a Merlin sa hrajú hru. Každé kolo hodia dve hracie kocky a každý získa buď jeden alebo nula bodov. Danko získa bod ak je súčet na kockách párny, Macker ak je súčin párny a Merlin keď je aspoň jedna kocka nepárna. Po 300 kolách má Danko 147 bodov a Macker 226. Koľko bodov má Merlin?
Komentáre (0)
„Z toho hádzania kockami mi akurát ešte viac mrznú prsty,“ skonštatoval Merlin, ktorého slová sa vo vzduchu zrážali na paru. „Heeej, aj ja už mám tej zimy po krk, poďme na jarné prázdniny niekam kde je teplo,“ povedal Macker „Ale prosím nie do dažďového pralesa, dažďu bolo tiež dosť,“ zúžil výber potenciálnych destinácií Danko. „Tak teda poďme do púšte! Ale, ako?“ myšlienky na cestu im prerušil prichádzajúci autobus so zvláštnym číslom.
2. príklad
Číslo autobusu je také číslo, že keď sčítame jeho cifry, tak dostaneme 23. Ďalej pre toto číslo platí, že súčet žiadnych po sebe idúcich cifier (kľudne aj viacerých ako 2) nie je rovný 3.
- Mohlo byť 11 čísel?
- Mohlo byť 12 čísel?
Komentáre (0)
V teple autobusu si začali všetci traja v mysli baliť veci do púšte. „Ja som už surfoval na snehu, na internete, na vlakoch, no na pieskových dunách veru ešte nie,“ zamyslel sa Macker. „Ja mám doma vlastne tiež surf, ktorý by chcel oprášiť,“ spomenul si Merlin. „Raz som sa nudil, tak som si naň nakreslil také hviezdičky s číslami…“
3. príklad
Nájdite všetky možné vyplnenia hviezdičky na Merlinovom surfe. Vyplnil ich kladnými celými číslami, tak aby:
- Súčet všetkých čísel vo hviezdičke bol dokopy 25.
- Hviezdička sa následne dala rozdeliť na niekoľko (aspoň 2 oblasti), tak aby súčet čísel v každej oblasti bol zhodný.
Každá oblasť sa skladá z niekoľkých (aj jedného) hranou susediacich trojuholníkov.
Komentáre (0)
„Tak super! Destinácia aj program naplánovaný, len taký detail. Ako sa tam chceme dostať?“ Spýtal sa s malou dušičkou Merlin. Na chvíľu len ticho hľadeli na ligotavú podlahu autobusu. Otázka visela vo vzduchu ako otravný chuchvalec pavučiny, pridlho a nepríjemne. „Veď to je triviálne!“ vykríkol z ničoho nič Macker, „Poďme kružilasmi! Zajtra ráno sa stretnime o 6:57 na ich parkovisku. Môžeme nasadnúť na hociktorý, ktorého parkovisko svieti na zeleno, tak snáď tam budú nejaké voľné. Ale nebál by som sa, parkovisko je veľké. “
4. príklad
Parkovisko má tvar tabuľky 2023 \times 2023, pričom každý jej štvorček 1 \times 1 svieti buď na červeno, alebo na zeleno. Platí, že práve v 1012 riadkoch je väčšina štvorčekov červených a práve 1012 stĺpcov má väčšinu štvorčekov zelených. Nájdite najväčšiu možnú stranu jednofarebného štvorca, ktorý sa skalá z niekoľkých štvorčekov tabuľky.
Komentáre (0)
Danko, Macker a Merlin vystúpia z kružilasu na Egyptských trhoch. Ešte si tam museli kúpiť surfy. „Aké veľké trhy!” žasol Macker. Merlin bol o niečo menej nadšený: „Určite tu bude aj veľa podvodníkov… poďme si čo najrýchlejšie kúpiť tie surfy, aby nás nikto neokradol.” Ako keby to Merlin privolal, pristúpil k nim pochybne vyzerajúci pán v čiernom kabáte. Povedal, že je obchodník a spýtal sa ich, či si s ním zahrajú nejakú hru. Snažili sa odmietnuť, ale nakoniec súhlasili.
5. príklad
Hra sa hrá na tabuľke s rozmermi m \times n. Vpravo hore a vľavo dole majú po jednej figúrke na každom políčku vedúci a v ľavo hore a vpravo dole má obchodník svoje dve figúrky. V prvom ťahu začínajú vedúci a môžu pohnúť svoju figúrku na hranou susedné políčko. V druhom ťahu ide obchodník a môže pohnúť svoju figúrku na hranou susedné políčko. Takto sa hráči striedajú, pričom nemôžu položiť figúrku na štvorček, na ktorom sa už nachádza nejaká figúrka. Môžu vedúci dostať svoje figúrky na dve hranou susedné políčka bez ohľadu na to, ako hrá obchodník, ak má tabuľka rozmery 3 \times 4? Čo ak sa hrá hra na tabuľke 2024 \times 2025?
Komentáre (0)
Keď vedúci dohrali s obchodníkom jeho hru a kúpili si surfy, narazili na ďalší problém. Museli nájsť spôsob ako sa dostať hlbšie do púšte. „Aha, tam sú nejaké ťavy! Môžeme ísť na nich,” navrhol Danko. Keď trojica podišla bližšie, ozval sa Merlin: „Teraz prosím žiadnych pofidérne vyzerajúcich ehm, obchodníkov.” „Čo takto tamten? Vyzerá múdro” povedal Macker ukazujúc na niekoho. Ostatní súhlasili, tak k nemu prišli a spýtali sa, či ich zoberie do púšte. Obchodník s ťavami súhlasil, ale mal 1 pravidlo. Hlupákov neberie. Dal teda vedúcim vyriešiť príklad.
6. príklad
Obchodník vedúcim povedal, že keď mu povedia ľubovoľné celé číslo n > 1, on im na neho odpovie d, kde d je najväčší deliteľ n menší ako n. Vedúcim dal teraz za úlohu nájsť všetky kladné celé čísla väčšie ako 1 také, že súčet čísla, ktoré vyslovia vedúci a čísla, ktoré im na neho odpovie obchodník je mocnina 10.
Poznámka: Mocniny 10 sú čísla, ktoré dostaneme keď zoberieme číslo 10 a budeme ho opätovne násobiť číslom 10, takže prvé tri mocniny 10 sú: 10, 100, 1000.Komentáre (0)
Chvíľu po tom ako sa vybrali na cestu, pridal sa k nim ďalší cestujúci. Mal čierny plášť, kúzelnícky klobúk a paličku. S nikým sa nerozprával, iba sa hral so svojimi kartami. Keď sa celá skupinka zastavila na prestávku, prišiel k vedúcim a spýtal sa ich, či chcú niečo vidieť. Oni nadšene súhlasili.
7. príklad
Sú dané dve kladné celé čísla n a k, pričom n \geq k > 1. Kúzelník má 2n kariet. Každá karta má na sebe z jednej strany napísané jedno z čísel 1, 2, \dots, n, pričom každé z týchto čísel sa vyskytuje na práve dvoch kartách. Vyloží ich doradu na piesok tak, aby neboli vidno čísla. Teraz v každom ťahu vedúci ukážu na ľubovoľných k kariet. Kúzelník im ich ukáže, potom týchto k kariet zamieša (tak ako mu vyhovuje) a položí ich na rovnaké pozície odkiaľ ich zobral (ale teraz môžu byť v inom poradí). Pre aké hodnoty k je možné, aby po konečnom počte ťahov vedúci s istotou ukázali na k kariet tak, aby medzi nimi bola aspoň jedna dvojica rovnakých kariet?
Komentáre (0)
Vedúcich síce bavilo hrať sa s kúzelníkom, ale museli pokračovať v ceste. Po nejakom čase boli konečne tam, kde mali celý čas namierené - na surférskom námestí. Kúzelník sa rýchlo rozlúčil a niekam odišiel. Danko sa išiel spýtať obchodníka kde ich počká, no obchodník sa iba zasmial: „Haha, vy hlupáci! Veď sme sa dohodli, že vás zoberiem iba do púšte, nie z nej.” Potom rýchlo ušiel aj s ťavami. Kým Danko viedol tento nepríjemný rozhovor, Macker s Merlinom boli úplne pohltení študovaním koberca, ktorý tam nechal kúzelník:
8. príklad
Koberec ABCD je konvexný štvoruholník s pravým uhlom pri vrchole C. Na úsečke CD leží bod P tak, že |\sphericalangle APD| = |\sphericalangle BPC| a |\sphericalangle BAP| = |\sphericalangle ABC|. Dokážte, že |BC| = \frac{|AP|+|BP|}{2}.
Poznámka: Konvexný štvoruholník je taký, že všetky veľkosti jeho vnútorných uhlov sú menšie ako 180^\circ.Komentáre (0)
Vedúci surfovali celé hodiny. Dokonca si pri tom ani len nevšimli, že sa vzdialili od námestia a ani to, že už nevedia kde sú. Keď si to uvedomili, spanikárili. Po chvíli sa ukľudnili a začali hľadať cestu späť. Už ju dokonca hľadali tak dlho, že nedokázali chodiť rovno. „Mám pocit, že sa pohybujeme v tetrominách,” ozval sa unavene Merlin. „Podľa mňa chodíme do štvorcov.” ozval sa dehydratovaný Macker. „Myslíte? Koľko by sa teda zmestilo tetromín do takejto mriežky…” spýtal sa ešte unavenejší a dehydratovanejší Danko.
9. príklad
Koľko najviac tetromín tvaru "S" sa zmestí do tabuľky:
- 5 \times 5
- 6 \times 6
- 7 \times 7
Pričom tieto tetrominá môžeme ľubovoľne otáčať a preklápať, avšak žiadne dve tetrominá sa nesmú prekrývať, vyčnievať z tabuľky a ani prekrývať necelé štvorčeky tabuľky. Tetromino "S" vyzerá nasledovne:
Komentáre (0)
Po nejakom čase sa ozval vyčerpaný Merlin: „Buď som už fakt unavený alebo vidím nejakú podmnožinu vedúcich. Konkrétne Alic. Možno Aničku. A možno vidím dvojmo..” „No ja vidím iba Aničku,” zmätene sa obzeral Danko. Na to im však Macker neskočil: „Netrepte hlúposti.. veď podmnožinu všetkých vedúcich pred nami tvorí Alic a Ivka.”
10. príklad
Nájdite vzhľadom na celé čísla m, n (nie nutne rôzne) všetky podmnožiny S (nie nutne s konečne veľa prvkami) celých čísel takých, že:
- 0 sa nachádza v S,
- m, n sa nachádzajú v S, ďalej m - n sa nachádza v S,
- ak a sa nachádza v S, tak aj -a sa nachádza v S,
- ak a, b, a-b sa nachádzajú v S, tak aj a+b sa nachádza v S.
„Vy okrem vymýšľania matematických príkladov dobrovoľníčite aj ako večera pre supy?” Spýtala sa vysmiata Ivka, zatiaľ čo Alic podávala Merlinovi vodu. „Nebyť vás, možno by sme ňou boli, len neviem či dobrovoľne. A vy tu čo robíte?” Dievčatá si nemo vymenili pohľady. „Hľadáme poklad,” povedala ticho Anička. Dankovi a Mackerovi sa rozžiarili unavené oči. „Tak v tom prípade už aj my.”
Žiadne komentáre
Pridaj komentár
Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!
Prihlásiť sa