Koniec:
09. október 2025 22:00
Do konca:
3 týždne
Vietor vo vlasoch. Škripot kolies vzducholode. Hlboký hukot vrtule.
Lukáš otvoril oči a sledoval kŕdeľ vtákov hlboko pod ním. Vyzerali, že v mori akurát lovia obed, čo mu pripomenulo, že im na lodi pomaly dochádza jedlo. Do obchodného mesta Košeiro, kam mali zamierené, by to malo byť iba niekoľko dní, ale Lukáš už pomerne dlho utrápene sledoval ukazovateľ nádrže s palivom, ktorý neúprosne klesal. Prídu do Košeiro, predajú, čo získali na poslednej výprave, a natankujú. Lukáš pozrel na Alexa, ktorý vyzeral, že sa mu myšlienky uberajú podobným smerom. Obaja sa snažili myslieť na všetko iné, len nie na tajomnú obálku, ktorá ich do Košeiro pritiahla. Tých pár dní to musia vydržať. Aj oni, aj ich motory.
1. príklad
Lukášova a Alexova vzducholoď má dva motory. Menší motor každý deň spotrebuje aspoň jednu, avšak najviac
3 bandasky paliva. Väčší motor každý deň spotrebuje aspoň
4, ale najviac
7 bandasiek paliva. Oba motory bežali celý týždeň. Mohlo sa stať, že každý deň tohto týždňa spotrebovala celá loď iný počet bandasiek? Ak áno, prečo? Ak nie, prečo?
Mali šťastie. Boh vetra Viktor, s Lukášom a Alexom spolupracoval. Vial im do chrbta. Cesta ubiehala hladko a motor si spokojne vrčal, ani stopy po búrkach alebo hurikánoch. Po týždni pokojnej cesty počul Lukáš Alexa z vonkajšej kabíny volať: “Poď sa pozrieť! Košeiro!” Lukáš rezko vybehol na vonkajšiu palubu a prižmúril oči proti slnku. O tomto konkrétnom meste toho príliš veľa nepočul, iba to, že sa nachádza vysoko nad morom, vyššie ako iné mestá. A naozaj, po chvíli hľadania v oblohe pred nimi uvidel Lukáš konštrukciu a balóny obchodného mesta. “Idem pripraviť hák na pripevnenie lode”, povedal Alexovi.
2. príklad
Reťaz na ktorej je pripevnený kotviaci hák, vyzerala v jednom momente ako na obrázku. Problém je, že ako každá reťaz, je zložená z pevných očiek (trojuholníky, kružnice, alebo šesťuholníky), ktoré sa vedia po sebe posúvať. Očká teda vedia meniť svoju polohu, avšak keď sa dve z nich dotýkajú na obrázku, tak sa budú dotýkať vo všetkých polohách reťaze, nie nutne v tom istom bode. Ďalej vieme, že šesťuholník a trojuholník sú pravidelné a majú dĺžku strany
1m, kružnice majú polomer
1m. Adama by veľmi zaujímalo ako najviac sa môže reťaz natiahnuť (nechce ňou poškodiť iné vzducholode :). Zistite to preňho a ukážte, že určite nemôže byť dlhšia.
Kým Lukáš chystal zachytávací mechanizmus, Alex kormidloval vzducholoď smerom k mestu vysoko nad oblakmi. Museli ešte veľa stúpať. “Vieš prečo je tak vysoko?” zvolal na Lukáša. “Nie.” “Kedysi totiž na mesto útočilo veľa pirátov. No a kupci zistili, že ak jednoducho mesto posunú vyššie nad oblaky, pirátov budú aj lepšie vidieť, a hlavne prišli na to, že veľa tých vagabundov ani nemá techniku na takú výšku. Majú príliš zastaralé lode na tak riedky vzduch.” “Dosť drsné.” Pomaly sa pred nimi črtalo mesto. Lukáš si o meste všimol ďalšiu vec. Ako pomerne nová obchodná centrála malo mesto veľmi prefíkane navrhnutý dizajn.
3. príklad
Mesto je postavené na štvorcovej mriežke a vyskytuje sa v ňom
6 typov budov, očíslovaných od
1 po
6. Lukáš vie takto z diaľky rozoznať iba niektoré z nich. Alex však vie, že budovy sú postavené podľa nasledovných pravidiel:
- Každé políčko obsahuje najviac jeden typ budovy, pričom na niektorých políčkach nemusí byť žiadna budova.
- Pre každú obchodnú budovu s číslom N platí, že existujú práve dve budovy rovnakého typu také, že pokiaľ sa hýbeme iba na stranou susediace políčka, tak najmenší počet políčok cez ktoré musíme ku každej z týchto 2 budov prejsť je N.
- Pre žiadnu obchodnú budovu s číslom N nemôže existovať iná budova rovnakého typu do ktorej by sme po stranou susediacich políčkach dostali na menej ako N krokov.
Pomôžte Lukášovi a Alexovi nájsť všetky možné rozloženia mesta a ukážte, že žiadne iné rozloženie mesta nemôže existovať.
Po úspešnom obchodovaní sa Lukáš s Alexom podvečer stretli na lodi. Len na seba potichu kývli a vedeli o čo ide. Kým boli na severe v Netsjort, jedno ráno našli na ich lodi záhadný balík obsahujúci tajomný list, ktorý ich posielal do Košeiro, s tým že keď tam prídu, dostanú ďalšie inštrukcie. Lukáš list otvoril, a ako očakávali s tajnou poštou, o pôvodnej zmienke o Košeire nebolo ani stopy. Namiesto toho na liste svietilo: “Dom na rohu medzi ulicami Liha a Alriyadiaat, štvrté poschodie.” Keď sa dostavili na križovatku ulíc, a vyštverali sa na štvrté poschodie ošarpaného domu, privítal ich pohľad na okrúhly stôl, za ktorým sedelo a hýbalo sa pár ľudí. Najčudnejší bol však drobný škriatok, kirken, v rohu miestnosti. Monotónne ukazoval na miesta.
4. príklad
Okolo kruhového stola je
8 miest na sedenie. Škriatok postupne ukazuje na prázdne stoličky. Keď škriatok ukáže na prázdnu stoličku, tak sa jeden z ľudí sediacich na
2 susedných miestach musí presunúť na túto prázdnu stoličku. Ak vedľa nesedí žiaden človek, tak sa škriatok rozhnevá. Koľko najmenej ľudí musí sedieť za stolom, aby vedeli zaručiť, že sa škriatok nikdy nerozhnevá, nech ukazuje na ktorékoľvek miesta v akomkoľvek poradí? Ľudia si na začiatku môžu vybrať ako chcú sedieť.
Lukáš a Alex si sadli za stôl, presúvali sa, a hneď si všimli, že kirken sa nehneval vôbec. Po istom čase sa kirken iba postavil a odišiel. Ako na povel sa zvyšní ľudia pri stole postavili, a dvaja z nich podišli k Alexovi a Lukášovi. “Vitajte. Ja som Agent XY” “Agent OP” predstavili sa postupne nebezpečne vyzerajúci žena a muž. “Sme z organizácie Astraq. Máme pre vás ponuku.” Oči na vetrom bičovanej tvári sa im tvrdo zavŕtavali do chlapcov. “O tej organizácii som počul chýry,” zašepkal Alex, “vraví sa, že čím vyššie číslo, tým silnejší agent. Nikto nepozná ich reálne mená. Ale netuším čo…” “Mená sú nebezpečné” prerušila ho 83ka, “takže ste už o nás počuli. Máme veľmi prísnu štruktúru. My síce nie sme odtiaľto, ale ako nadradená poznám tunajšie vedenie a veľkosť oddielu.”
5. príklad
Organizácia Astraq má v Košeiro
6 agentov v hierarchii ako na obrázku. Každý agent má svoje kladné celé číslo, ktoré udáva jeho silu. Agent vždy rozkazuje dvom agentom pod ním v hierarchii, ktorí sú dokopy presne tak silní ako on. Agent OP pozná silu agenta
B a agenta
C. Agentka XY pozná silu agenta
A a agenta
D. Agent OP potom vyhlásil: “Ja síce neviem zistiť, akú silu majú všetci agenti, dokonca si nie som istý, či to vieš alebo nevieš zistiť ty bez toho, aby si počul túto vetu.” Dokážte, že Agentka XY už teraz určite vie zistiť silu každého agenta v Košeiro.
“Čo však od nás chcete?” vyzvedal trocha nervózny Lukáš. Netušil, čo by títo evidentne nebezpeční bojovníci na nich mohli mať. “Členovia Astraq nie sú nestarnúci. Potrebujeme verbovať mladý talent.” vysveľoval Agent OP, kým Agentka XY vyťahovala niečo z vrecka na dlhom kabáte. “Máme pre vás ponuku. Splňte výzvu, a ponúkneme vám miesto v organizácii. Sľubujem, že popri plnení výzvy si vedia zberači ako vy dobre zarobiť.” Kým rozprával, XY im podala kus hnedého pergamenu. Chlapci sa zahľadeli na akési geometrické útvary a hádanky, ktoré pripomínali mapu s inštrukciami. Mapová časť vyzerala ako nejaký trojuholník s vyznačenými dôležitými bodmi.
6. príklad
Mape dominuje trojuholník
ABC taký, že
\lvert \measuredangle BAC \rvert=60^{\circ}. Na stranách
BC,
CA a
AB ležia postupne body
M,
N,
K tak, že
\lvert BK\rvert = \lvert KM \rvert=\lvert MN\rvert = \lvert NC\rvert. Navyše platí, že
2\lvert AK\rvert = \lvert AN\rvert. Zistite veľkosti uhlov
\measuredangle ABC a
\measuredangle ACB.
“Ale…” ohradil sa Lukáš a zdvihol hlavu. Pozeral sa iba na prádznu miestnosť, do ktorej sa pomaly vkrádalo šero večera, a po agentoch zrazu nebolo ani stopy. Striaslo ho. Jediné čo potvrdzovalo, že sa mu celý incident iba nesníval, bol kus pergamenu, ktorý Alex ešte stále študoval. “Ráno vyrážame, však?” ozval sa nadšený Alex. Lukáš nevedel. Rozhodnutie malo padnúť večer na lodi, kde sa obaja poriadne zahľadeli na tajomný kus pergamenu v snahe zistiť, čo pred nimi skrýva. A či sa tomu chcú oddať. “No tak máme niekoľko hviezdičiek na mape, a vzhľadom na ich relatívnu polohu by som povedal, že sú to mestá. Pozri, tento trojuholník je určite Omi, Košeiro a Mazes,” vysvetľoval Alex. “Hej, bude to mapa pásma medzi obratníkom a rovníkom,” súhlasil Lukáš, “Ale čo sú dopekla tieto náhodné miesta označené bodkou? Tu dole text hovorí, že nájdi ďalšie.”
7. príklad
Nájdite všetky čísla
n také, že
n má aspoň
3 cifry a ak umiestnime znamienko krát medzi stovky a desiatky, tak výsledok bude polovica čísla
n.
“Vyznač tie nové,” súril Alex Lukáša. “Počkaj, ešte nie, tieto dve polohy mi niečo hovoria” dumal Lukáš. “Pozri, toto je Fontánový Vodopád” ukazoval Lukáš na svoju mapu vzdušného priestoru, “toto je Špicatá Hora, a toto nie je na našej navigátorskej mape, ale som si celkom istý, že tu je Hrob Čarodejky.” Alexovi sa nadvihlo obočie, a potom sa znova zamyslene zamračil. “Čo tam je ďalšie?” vyzvedal. “Počkaj… stred Hurikánových prstencov, je tu Oblak Bosoriek… Počkaj to je divné…” “ÁNO” zvolal Alex, “Je to proste šifra! Ideme na Strigin Prst.” Lukášova tvár prešla od zmätku do rozžiareného pochopenia až do mĺkvosti, keď si uvedomil, kam ich mapa posiela. “Hm” odvetil. “Pozriem súradnice, zatiaľ si to rozmysli,” povedal Alex a zmizol pod palubu.
8. príklad
Lukáš a Alex chcú nájsť všetky dvojice prvočísel p a q, pre ktoré platí, že:
s(p\cdot q + 800)+s(p)\cdot s(q+1)= s(p\cdot q + 799)+s(2\cdot p),
kde
s(n) je ciferný súčet čísla
n.
Nájdite pre nich všetky dvojice takýchto prvočísel p, q a dokážte, že ďalšie neexistujú.
Strigin prst je veľká úzka kamenná skala, ktorá sa týči nad morom. Na úplnom špicatom vrchole pramení malý potôčik, aj keď nikto nevie odkiaľ, a vytvára tak prekrásny vodopád. Okrem dychberúcej scenérie tam však je aj niečo iné, a to bol dôvod Lukášových obáv. Lukáš nasucho preglgol, keď pozoroval blížiacu sa malú chalupu s verandou na špičke prstu. O Striginom Prste počul všeličo. Niektorí sa odtiaľ vrátili ako boháči, iní vôbec. Ako sa vzducholoď blížila, začal Alex pomaly otáčať motory, aby do malého domčeka na vrchole náhodou nenarazili. V domčeku sa zrazu otvorili dvere. Vyšla z nich vysoká, tenká postava. Vlasy a oblečenie jej iba viali vo vetre, kým si pokojne sadala na verandu, a zatiaľ čo chlapci uviazali loď, odniekiaľ sa pred postavou objavila kôpka kostičiek. “Som Prvý Pútnik,” vyhlásila postava pevným hlasom. “Sadnite si a počúvajte.”
9. príklad
Lukáš a Pútnik idú hrať hru. Pútnik si vyberie číslo
N. Začínajúci hráč vezme jednu kostičku a položí ju na kôpku. V každom nasledovnom ťahu môže hrajúci hráč na kôpku pridať buď
1 kostičku, alebo zdvojnásobiť počet kostičiek na kôpke, kôpka však nikdy nesmie mať viac ako
N kostičiek. Hráč, ktorý nemôže spraviť ťah prehráva. Lukáš si môže vybrať, či bude začínať alebo nie. Určite, kedy si má Lukáš vybrať, že bude začínať aby určite vyhral, opíšte Lukášovu stratégiu a dokážte, že nech bude hrať Pútnik ľubovoľne, tak Lukáš vyhrá.
Lukáš len vydýchol, keď na kôpku pridal poslednú kostičku. Odľahlo mu. Pútnik naňho chvíľu uprene pozeral, a potom natiahol pred seba dlhú, kostnatú ruku, z ktorej mu ovísal plášť. Lukáša opäť zmrazilo. Na pomoc mu však prišiel Alex. “Tu je tá mapa.” Pútnik si pergamen bez slova vzal do ruky, roztiahol ho, a začal do mapy dokresľovať. Chlapci sa začudovane prizerali. Pútnik vyznačil okrem existujúceho trojuholníka aj čiaru od Striginho Prsta k Omi. Potom vzal povrch pergamenu. Pod jeho prstami sa pergamen rozdelil podľa novo nakreslenej priamky na dva, a pútnik začal nový povrch otáčať ako stranu v knihe.
10. príklad
Majme trojuholník
ABC so stredom kružnice vpísanej
I. Nech sa preklopenie priamky
AB cez priamku
CI a preklopenie priamky
AC cez priamku
BI pretnú v bode
X. Dokážte, že priamka
XI je kolmá na priamku
BC.
Kým to robil, chlapci stáli s otvorenými ústami. “Chytil by som sa niečoho,” poznamenal Pútnik. Vtedy si to chlapci všimli. Obrovská stena vody, ktorá sa zarovno s pergamenom v Pútnikových rukách otáčala okolo Striginho Prsta, sa pomaly blížila k ich chrbtu. Lukáš len zjačal a len tak-tak chytil sa kusu dreva na verande, Alex to stihol trocha lepšie. Studená voda ich premočila do nitky. K ich počudovaniu bola stena vody tenká, aj keď vyzerala, že je hrubá ako samotný oceán. Lukáš sledoval rovnakú stenu vody, ako pomaly klesá na opačnej strane Striginho Prsta smerom k oceánu. Keď Pútnik, ktorého sa voda akokeby ani nedotkla, konečne položil stránku pergamenu späť na mapu, kde sa naspäť zliala so zvyškom mapy, počuli chlapci silné žuchnutie, keď stena vody padla do mora. Alex podišiel k mape, ktorá zrazu vyzerala úplne inak. “Vitajte v Medzizemi.” povedal proste Pútnik, postavil sa, a šiel späť do svojho domčeka.
Žiadne komentáre
Pridaj komentár
Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!
Prihlásiť sa